Kontrasty w ANOVA – wzór i przykład kontrastu planowanego

Kontrast to porównanie średnich, które zaplanowałeś przed zebraniem danych: jednej grupy z inną albo jednej grupy ze średnią kilku innych. Zamiast pytać ogólnie „czy grupy się różnią?”, testujesz konkretną hipotezę. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy grupa, która miała dodatkowe zajęcia powtórkowe, wypada lepiej niż średnio dwie pozostałe?

Kiedy stosować kontrasty?

• masz hipotezę kierunkową sformułowaną przed badaniem, np. „grupa eksperymentalna wypadnie lepiej niż obie kontrolne”;
• porównujesz średnie w trzech lub więcej grupach w jednoczynnikowej ANOVA;
• zaplanowanych porównań jest niewiele – najlepiej najwyżej k − 1 kontrastów ortogonalnych.

Jeśli nie masz takiej hipotezy i chcesz po prostu sprawdzić wszystkie pary, wybierz test Tukeya. Przy kilku nieortogonalnych kontrastach dodaj poprawkę Bonferroniego.

Wzór na kontrast

\(c_j\)

waga grupy j; dodatnia dla grup „za”, ujemna dla grup „przeciw”, zero dla grup pominiętych

\(\bar{x}_j,\ n_j\)

średnia i liczba osób w grupie j

\(L\)

wartość kontrastu; przy wagach +1 i −½, −½ to różnica średnich, o którą pytasz

\(MS_W\)

średni kwadrat wewnątrz grup z tabeli ANOVA

\(SE_L,\ t,\ df\)

błąd standardowy kontrastu, statystyka t i jej stopnie swobody

Dwa kontrasty o wagach \(c_j\) i \(c'_j\) są ortogonalne (niezależne), gdy \(\sum_j c_j c'_j / n_j = 0\). Przy k grupach takich kontrastów jest k − 1, a ich sumy kwadratów \(SS_L = L^2 / \sum_j (c_j^2/n_j)\) sumują się do \(SS_B\).

Przykład krok po kroku

Trzy grupy ćwiczeniowe z hasła o ANOVA: A = 1, 3, 5; B = 2, 4, 6; C = 7, 8, 9 punktów. Przed kolokwium założyliśmy, że grupa C, która miała dodatkowe zajęcia powtórkowe, wypadnie lepiej niż średnio grupy A i B. Z tabeli ANOVA: MS_W = 3, df = 6.

1. Wagi. −½ + (−½) + 1 = 0, więc kontrast jest poprawny.
2. Wartość kontrastu. L = −1,5 − 2 + 8 = 4,5. To różnica między średnią C (8) a średnią z A i B (3,5).
3. Błąd standardowy. \(SE_L = \sqrt{3 \cdot 0{,}5} = \sqrt{1{,}5} = 1{,}22\).
4. Statystyka t. t = 4,5 / √1,5 = 3,67; df = 6; p = 0,010.
5. Drugi kontrast ortogonalny. A kontra B: wagi 1, −1, 0; L = −1; t = −0,71; p = 0,506. Sprawdzenie ortogonalności (grupy są równe, więc wystarczy suma iloczynów wag): (−½) · 1 + (−½) · (−1) + 1 · 0 = 0.
6. Podział SS_B. \(SS_{L1} = 4{,}5^2 / 0{,}5 = 40{,}5\) i \(SS_{L2} = 1 / (2/3) = 1{,}5\). Razem 42 = SS_B.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Wynik jest zgodny z hipotezą: średnia grupy C była o 4,5 punktu wyższa niż średnia z grup A i B. Gdyby w populacji takiej różnicy nie było, wynik co najmniej tak skrajny uzyskalibyśmy w około 1% badań. Kontrast ma jeden stopień swobody i odpowiada na jedno pytanie, więc jest czulszy niż ogólne F. To działa jednak tylko wtedy, gdy wagi wybrałeś przed obejrzeniem danych. Przy trzech osobach w grupie traktuj ten wynik jako ilustrację.

Jak policzyć kontrasty w R?

punkty <- c(1, 3, 5,  2, 4, 6,  7, 8, 9)
grupa  <- factor(rep(c("A", "B", "C"), each = 3))
model  <- aov(punkty ~ grupa)

# 1) „ręcznie”: kontrast C vs średnia z grup A i B
wagi <- c(-1/2, -1/2, 1)                               # suma wag = 0
m    <- tapply(punkty, grupa, mean)                    # 3, 4, 8
MSW  <- sum(residuals(model)^2) / df.residual(model)   # 3
L    <- sum(wagi * m)
SE   <- sqrt(MSW * sum(wagi^2 / 3))
c(L = L, SE = SE, t = L / SE, p = 2 * pt(-abs(L / SE), df = 6))

# 2) gotową funkcją: dwa kontrasty ortogonalne naraz
library(emmeans)
contrast(emmeans(model, ~ grupa),
         list("C vs (A+B)/2" = c(-1/2, -1/2, 1), "A vs B" = c(1, -1, 0)))

Wynik w konsoli R:

         L         SE          t          p 
4.50000000 1.22474487 3.67423461 0.01040172 
 contrast     estimate   SE df t.ratio p.value
 C vs (A+B)/2      4.5 1.22  6   3.674  0.0104
 A vs B           -1.0 1.41  6  -0.707  0.5060

Kontrasty planowane czy testy post hoc?

Kontrasty planowane wynikają z hipotez zapisanych przed badaniem. Jest ich niewiele, nie wymagają istotnego F i mają większą moc. Testy post hoc to przeszukiwanie danych po fakcie: sprawdzasz wszystkie pary i dlatego musisz mocniej korygować p. Jeśli wybierzesz porównanie dopiero po obejrzeniu wykresu, to jest to analiza post hoc, nawet jeśli policzysz ją wzorem na kontrast.

Najczęstsze błędy

• Wagi, które nie sumują się do zera, np. 1, 1, −1.
• Dobieranie kontrastu po obejrzeniu danych i nazywanie go „planowanym”.
• Wagi 1, 1, −2 i interpretowanie L jako różnicy średnich – L jest wtedy dwa razy większe (t i p się nie zmieniają).
• Wiele nieortogonalnych kontrastów bez żadnej korekty.
• Brak opisu wag w pracy – bez nich czytelnik nie wie, co porównano.