Korekta Bonferroniego – wzór i przykład porównań wielokrotnych

Korekta (poprawka) Bonferroniego chroni przed fałszywymi alarmami, gdy wykonujesz kilka testów naraz: dzielisz poziom istotności przez liczbę testów. To nie jest osobny test, tylko poprawka dokładana do innego testu, np. t Studenta. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: ANOVA wyszła istotna – które pary grup ćwiczeniowych się różnią?

Kiedy stosować korektę Bonferroniego?

• wykonujesz serię testów na tych samych danych, np. porównania par grup po ANOVA albo pomiarów po teście Friedmana;
• porównań jest kilka, a nie kilkadziesiąt – przy bardzo wielu testach poprawka mocno obniża szansę wykrycia prawdziwych efektów;
• chcesz prostej metody, która działa z każdym testem bazowym (t, U Manna-Whitneya, Wilcoxon, chi-kwadrat).

Przy wszystkich parach średnich po ANOVA dla grup niezależnych zwykle lepszy jest test Tukeya. Więcej o samym ryzyku znajdziesz w haśle o błędzie I rodzaju.

Wzór na korektę Bonferroniego

\(\alpha\)

poziom istotności dla całej serii testów, zwykle 0,05

\(m\)

liczba testów w serii; dla wszystkich par k grup \(m = k(k - 1)/2\)

\(p,\ p_{Bonf}\)

wartość p z pojedynczego testu i p skorygowane, które porównujesz ze zwykłym α = 0,05

\(FWER\)

ryzyko co najmniej jednego fałszywego alarmu w serii m niezależnych testów bez korekty

Metoda Holma działa krokowo: ustaw p od najmniejszego i porównuj kolejno z α / m, α / (m − 1), …, α. Zatrzymaj się na pierwszym nieistotnym wyniku.

Przykład krok po kroku

Trzy grupy ćwiczeniowe z hasła o jednoczynnikowej ANOVA: A = 1, 3, 5; B = 2, 4, 6; C = 7, 8, 9 punktów. Każdą parę porównujemy testem t ze wspólnym rozrzutem z ANOVA (MS_W = 3, df = 6), więc błąd standardowy różnicy wynosi \(\sqrt{3 \cdot (1/3 + 1/3)} = \sqrt{2} \approx 1{,}41\).

1. Liczba porównań. m = 3 · 2 / 2 = 3.
2. Ryzyko bez korekty. 1 − 0,95³ = 0,143, czyli około 14% zamiast 5%.
3. Próg Bonferroniego. α / m = 0,05 / 3 = 0,0167. Poniżej leży tylko p = 0,012 dla pary A – C.
4. p skorygowane. Mnożysz każde p przez 3 i obcinasz do 1: 0,037; 0,090 i 1,000 (a nie 1,518).
5. Holm. Najmniejsze p = 0,012 < 0,05 / 3 – istotne. Następne p = 0,030 > 0,05 / 2 = 0,025 – nieistotne, więc na tym kończysz.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Po korekcie istotna pozostaje tylko przewaga grupy C nad grupą A. Różnica C – B traci istotność, ale to nie dowód, że grupy B i C są takie same – po prostu dane nie wystarczają, by to rozstrzygnąć. W pracy zawsze podaj test bazowy, metodę korekty i liczbę porównań, a przy p – czy jest skorygowane.

Jak policzyć korektę Bonferroniego w R?

punkty <- c(1, 3, 5,  2, 4, 6,  7, 8, 9)
grupa  <- factor(rep(c("A", "B", "C"), each = 3))

# 1) „ręcznie”: trzy testy t (wspólne MSW = 3, df = 6) i dwie korekty
roznice  <- c("A-B" = 1, "A-C" = 5, "B-C" = 4)
p_surowe <- 2 * pt(-roznice / sqrt(3 * (1/3 + 1/3)), df = 6)
m <- length(p_surowe)                                 # 3 porównania
round(cbind(p_surowe, Bonferroni = pmin(1, m * p_surowe),
            Holm = p.adjust(p_surowe, method = "holm")), 3)

# 2) gotową funkcją
pairwise.t.test(punkty, grupa, p.adjust.method = "bonferroni")
pairwise.t.test(punkty, grupa, p.adjust.method = "holm")

Wynik w konsoli R:

    p_surowe Bonferroni  Holm
A-B    0.506      1.000 0.506
A-C    0.012      0.037 0.037
B-C    0.030      0.090 0.060

	Pairwise comparisons using t tests with pooled SD 

data:  punkty and grupa 

  A     B    
B 1.000 -    
C 0.037 0.090

P value adjustment method: bonferroni 

	Pairwise comparisons using t tests with pooled SD 

data:  punkty and grupa 

  A     B    
B 0.506 -    
C 0.037 0.060

P value adjustment method: holm 

Bonferroni czy Holm – co wybrać?

Metoda Holma kontroluje to samo ryzyko co Bonferroni, a nigdy nie jest od niej słabsza: każde p skorygowane Holmem jest mniejsze lub równe p Bonferroniego. U nas dla pary B – C to 0,060 zamiast 0,090. Dlatego wielu metodologów zaleca Holma jako domyślny wybór. Bonferroni wygrywa prostotą – łatwo go policzyć ręcznie i opisać. Gdy testów jest bardzo dużo i akceptujesz pewien odsetek fałszywych alarmów, rozważ korektę Benjaminiego-Hochberga.

Najczęstsze błędy

• Pisanie „test Bonferroniego” bez nazwy testu, który był korygowany.
• Liczenie m tylko z wybranych porównań, np. tych, które „wyszły”.
• Mnożenie p bez obcięcia do 1 (p = 1,518 nie istnieje).
• Podwójna korekta: porównywanie p już skorygowanego z α / m.
• Wniosek „grupy się nie różnią”, gdy różnica straciła istotność po korekcie.