Test post hoc Tukeya (HSD) – wzór i przykład

Test Tukeya (HSD, od ang. honestly significant difference) to test post hoc, który po analizie wariancji porównuje każdą parę grup i pilnuje, żeby łączne ryzyko fałszywego alarmu nie przekroczyło 5%. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: ANOVA wyszła istotna – ale które grupy ćwiczeniowe naprawdę się różnią?

Kiedy stosować test Tukeya?

• po jednoczynnikowej ANOVA chcesz porównać wszystkie pary grup;
• grupy to różne osoby, a rozrzut wyników w grupach jest podobny – gdy nie jest, wybierz test Gamesa-Howella;
• grupy mogą mieć różną liczebność – wtedy R sam użyje wersji Tukeya-Kramera.

Gdy sprawdzasz tylko kilka zaplanowanych porównań, lepsze będą kontrasty albo poprawka Bonferroniego.

Wzór na statystykę q i poprzeczkę HSD

\(\bar{x}_i,\ \bar{x}_j\)

średnie dwóch porównywanych grup

\(MS_W\)

średni kwadrat wewnątrz grup z tabeli ANOVA – „uśredniony” rozrzut wyników we wszystkich grupach

\(n\)

liczba osób w każdej grupie; przy nierównych grupach zamiast \(MS_W/n\) wstawiasz \(\tfrac{MS_W}{2}\left(\tfrac{1}{n_i} + \tfrac{1}{n_j}\right)\)

\(q_{kryt}\)

wartość krytyczna rozkładu studentyzowanego rozstępu dla k grup i \(df_W = N - k\) stopni swobody

\(HSD\)

najmniejsza różnica średnich, którą test uzna za istotną

Przykład krok po kroku

Trzy grupy ćwiczeniowe z hasła o ANOVA: A = 1, 3, 5; B = 2, 4, 6; C = 7, 8, 9 punktów. Średnie wynoszą 3, 4 i 8, a z tabeli ANOVA mamy MS_W = 3 przy df_W = 6.

1. Mianownik. \(\sqrt{MS_W / n} = \sqrt{3 / 3} = 1\). Przy takich danych q jest po prostu równe różnicy średnich.
2. Wartość krytyczna. Dla k = 3 grup, df = 6 i α = 0,05 tablice (albo R) podają q_kryt = 4,34.
3. Poprzeczka. HSD = 4,34 · 1 = 4,34 punktu.
4. Porównania. Tylko różnica C – A (5 punktów) przekracza 4,34. Różnica C – B (4 punkty) jest tuż pod poprzeczką.
5. Przedziały ufności. Każda różnica ± 4,34: C – A od 0,66 do 9,34 (nie obejmuje zera), C – B od −0,34 do 8,34, B – A od −3,34 do 5,34.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Test Tukeya potwierdza, że istotna ANOVA wynika głównie z przewagi grupy C nad grupą A. Różnica C – B jest prawie tak duża, ale nie przekroczyła poprzeczki. To nie znaczy, że grupy B i C są takie same – przedział ufności od −0,34 do 8,34 pasuje zarówno do braku różnicy, jak i do różnicy bardzo dużej. Poprawny wniosek brzmi: brak podstaw, by stwierdzić różnicę między B i C. Wartość p dla każdej pary jest już skorygowana o liczbę porównań.

Jak policzyć test Tukeya w R?

punkty <- c(1, 3, 5,  2, 4, 6,  7, 8, 9)
grupa  <- factor(rep(c("A", "B", "C"), each = 3))
model  <- aov(punkty ~ grupa)

# 1) „ręcznie”: q dla każdej pary, poprzeczka HSD i p
MSW <- sum(residuals(model)^2) / 6                    # 3
m <- tapply(punkty, grupa, mean)                      # 3, 4, 8
roznice <- c("B-A" = m[["B"]] - m[["A"]], "C-A" = m[["C"]] - m[["A"]], "C-B" = m[["C"]] - m[["B"]])
q <- roznice / sqrt(MSW / 3)
q_kryt <- qtukey(0.95, nmeans = 3, df = 6)
round(rbind(roznica = roznice, q = q, HSD = q_kryt * sqrt(MSW / 3),
            p = ptukey(q, nmeans = 3, df = 6, lower.tail = FALSE)), 3)

# 2) gotową funkcją (przedziały ufności i p skorygowane)
TukeyHSD(model)

Wynik w konsoli R:

          B-A   C-A   C-B
roznica 1.000 5.000 4.000
q       1.000 5.000 4.000
HSD     4.339 4.339 4.339
p       0.768 0.028 0.067
  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = punkty ~ grupa)

$grupa
    diff        lwr      upr     p adj
B-A    1 -3.3391953 5.339195 0.7684325
C-A    5  0.6608047 9.339195 0.0284838
C-B    4 -0.3391953 8.339195 0.0673680

Test Tukeya czy Bonferroni – który wybrać?

Gdy porównujesz wszystkie pary średnich po ANOVA dla grup niezależnych, test Tukeya jest zwykle lepszy: ma większą moc niż poprawka Bonferroniego. Na naszych danych dla pary C – A daje p = 0,028, a Bonferroni – 0,037. Bonferroni sprawdza się przy kilku zaplanowanych porównaniach albo przy innych testach, np. porównaniach par w pomiarach powtarzanych. Test Tukeya sam kontroluje łączne ryzyko błędu, więc formalnie nie wymaga istotnego F. W pracy i tak podaj najpierw wynik ANOVA, a potem porównania par.

Najczęstsze błędy

• Test Tukeya przy wyraźnie różnych wariancjach w grupach – wtedy lepszy jest test Gamesa-Howella.
• Seria zwykłych testów t opisana jako „test Tukeya”.
• Wniosek „grupy B i C są takie same”, bo p = 0,067.
• Same gwiazdki bez różnic średnich, przedziałów ufności i p.
• Test Tukeya dla tych samych osób zbadanych kilka razy – tu porównuje się pary testem t dla prób zależnych z korektą.