Jednoczynnikowa analiza wariancji (ANOVA) – wzór i przykład

Jednoczynnikowa analiza wariancji (ANOVA) sprawdza, czy średnie w trzech lub więcej grupach różnych osób różnią się bardziej, niż mogłyby się różnić przez przypadek. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy studenci z trzech grup ćwiczeniowych zdobywają średnio tyle samo punktów z kolokwium?

Kiedy stosować jednoczynnikową ANOVA?

• porównujesz trzy lub więcej grup różnych osób (np. grupy ćwiczeniowe, kierunki studiów);
• zmienna zależna jest ilościowa (punkty, czas, wynik skali);
• wyniki w grupach (reszty) mają rozkład zbliżony do normalnego – przy większych grupach test jest na to dość odporny;
• rozrzut wyników w grupach jest podobny – sprawdzisz to testem Levene’a; jeśli nie jest, wybierz ANOVA Welcha.

Przy dwóch grupach ANOVA daje ten sam wynik co test t Studenta (F = t²). Gdy te same osoby mierzysz kilka razy, potrzebujesz ANOVA z powtarzanymi pomiarami. Gdy wyniki są porządkowe albo bardzo skośne – testu Kruskala-Wallisa.

Wzór na statystykę F w ANOVA

\(x_{ij}\)

wynik i-tej osoby w grupie j

\(\bar{x}_j,\ n_j\)

średnia i liczba osób w grupie j

\(\bar{x}\)

średnia ogólna – średnia wszystkich wyników razem

\(SS_B\)

suma kwadratów między grupami: jak daleko średnie grup leżą od średniej ogólnej

\(SS_W\)

suma kwadratów wewnątrz grup: jak daleko wyniki leżą od średniej własnej grupy

\(MS_B,\ MS_W\)

średnie kwadraty, czyli sumy kwadratów podzielone przez stopnie swobody

\(k,\ N\)

liczba grup i liczba wszystkich osób; stopnie swobody to k − 1 oraz N − k

Przykład krok po kroku

Dziewięcioro studentów z trzech grup ćwiczeniowych napisało kolokwium (0–10 punktów). Grupa A: 1, 3, 5. Grupa B: 2, 4, 6. Grupa C: 7, 8, 9.

1. Średnie. A: 9 / 3 = 3. B: 12 / 3 = 4. C: 24 / 3 = 8. Średnia ogólna: 45 / 9 = 5.
2. Zmienność wewnątrz grup. \(SS_W = 8 + 8 + 2 = 18\).
3. Zmienność między grupami. \(SS_B = 12 + 3 + 27 = 42\). Kontrola: suma kwadratów odchyleń wszystkich wyników od 5 wynosi 60 = 42 + 18.
4. Średnie kwadraty. \(MS_B = 42 / 2 = 21\), \(MS_W = 18 / 6 = 3\).
5. Statystyka F. F = 21 / 3 = 7,00; df = 2 i 6; p = 0,027 (wartość krytyczna dla α = 0,05 to 5,14).
6. Wielkość efektu. Eta kwadrat: η² = 42 / 60 = 0,70.
7. Które grupy się różnią? Test post hoc Tukeya wskazuje tylko parę C–A (p = 0,028). Różnice C–B (p = 0,067) i B–A (p = 0,768) nie są istotne.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Gdyby średnie grup były w populacji równe, F = 7 lub większe otrzymalibyśmy tylko w około 2,7% podobnych badań – to mówi wartość p. η² = 0,70 znaczy, że przynależność do grupy wyjaśnia 70% zmienności punktów. Umownie 0,01 to efekt mały, 0,06 – średni, a 0,14 – duży (Cohen, 1988). Istotne F nie znaczy, że każda grupa różni się od każdej: tutaj od grupy A odstaje tylko grupa C. Trzy osoby w grupie to tylko ilustracja.

Jak policzyć ANOVA w R?

punkty <- c(1, 3, 5,  2, 4, 6,  7, 8, 9)
grupa  <- factor(rep(c("A", "B", "C"), each = 3))

# 1) „ręcznie”, dokładnie według wzoru
srednie <- tapply(punkty, grupa, mean)                # 3, 4, 8
SSB <- sum(3 * (srednie - mean(punkty))^2)            # 42
SSW <- sum((punkty - ave(punkty, grupa))^2)           # 18
F <- (SSB / 2) / (SSW / 6)
c(F = F, p = pf(F, 2, 6, lower.tail = FALSE), eta2 = SSB / (SSB + SSW))

# 2) gotowymi funkcjami: tabela ANOVA i test post hoc Tukeya
model <- aov(punkty ~ grupa)
summary(model)
TukeyHSD(model)

Wynik w konsoli R:

    F     p  eta2 
7.000 0.027 0.700 
            Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
grupa        2     42      21       7  0.027 *
Residuals    6     18       3                 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = punkty ~ grupa)

$grupa
    diff        lwr      upr     p adj
B-A    1 -3.3391953 5.339195 0.7684325
C-A    5  0.6608047 9.339195 0.0284838
C-B    4 -0.3391953 8.339195 0.0673680

Gdy wariancje w grupach wyraźnie się różnią, zamiast aov() użyj oneway.test(punkty ~ grupa) – to ANOVA Welcha.

Dlaczego nie zrobić po prostu kilku testów t?

Przy trzech grupach potrzebowałbyś trzech testów t. Każdy ma 5% ryzyka fałszywego alarmu, więc szansa, że co najmniej jeden „wykryje” nieistniejącą różnicę, rośnie do około 1 − 0,95³ ≈ 14%. ANOVA sprawdza wszystkie średnie jednym testem, a rozrzut szacuje na podstawie wszystkich dziewięciu osób. Pary porównaj dopiero potem, testem post hoc kontrolującym błąd, np. Tukeya albo z poprawką Bonferroniego.

Najczęstsze błędy

• Seria testów t bez żadnej korekty zamiast ANOVA i testu post hoc.
• Wniosek „wszystkie grupy się różnią” na podstawie samego istotnego F.
• Sprawdzanie normalności na wszystkich wynikach razem zamiast osobno w grupach lub na resztach.
• Pisanie „przyjęto H0”, gdy p > 0,05. Poprawnie: „brak podstaw do odrzucenia H0” – brak istotności nie dowodzi równości średnich.
• Podawanie samego F i p bez średnich, odchyleń standardowych i wielkości efektu.