Test dwumianowy – wzór i obliczenie wartości p

Test dwumianowy sprawdza, czy odsetek odpowiedzi „tak” w jednej grupie różni się od z góry założonej wartości, najczęściej od 50%. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy więcej niż połowa studentów woli zajęcia online od stacjonarnych?

Kiedy stosować test dwumianowy?

• zmienna ma dwie kategorie (tak/nie, online/stacjonarnie, zdał/nie zdał);
• masz jedną grupę i z góry ustaloną proporcję odniesienia \(p_0\) (np. 0,5);
• odpowiedzi są niezależne; test daje dokładne p nawet przy kilku osobach, więc nadaje się też do małych grup.

Gdy kategorii jest więcej, użyj testu chi-kwadrat zgodności, a gdy porównujesz odsetki w dwóch grupach – testu chi-kwadrat niezależności albo testu Fishera, nie testu dwumianowego. Same odsetki policzysz według hasła o częstościach i procentach.

Wzór na test dwumianowy

\(n\)

liczba osób (prób)

\(k\)

liczba odpowiedzi „tak” w Twoich danych

\(p_0\)

proporcja z hipotezy zerowej (tu 0,5)

\(\binom{n}{k}\)

liczba sposobów, na jakie można wybrać k osób spośród n (symbol Newtona)

\(P(X = k)\)

prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k odpowiedzi „tak” – to jeszcze nie jest wartość p

\(p\)

suma prawdopodobieństw wszystkich wyników co najmniej tak mało prawdopodobnych jak Twój (test dwustronny)

Przykład krok po kroku

Zapytaliśmy 10 studentów, czy wolą zajęcia online, czy stacjonarne. Online wybrało 9 osób. Hipoteza zerowa: obie formy są wybierane równie często (\(p_0 = 0{,}5\)). Każdy z \(2^{10} = 1024\) układów odpowiedzi jest wtedy równie prawdopodobny.

1. Prawdopodobieństwo naszego wyniku. \(P(X = 9) = 10 \cdot 0{,}5^{10} = 10/1024 \approx 0{,}0098\). To nie jest wartość p.
2. Wyniki co najmniej tak skrajne „w stronę online”. 9 lub 10 osób: (10 + 1)/1024 ≈ 0,0107.
3. Test dwustronny. Pytasz o różnicę od 50% w obie strony, więc dodajesz symetryczne wyniki 1 i 0: p = 22/1024 ≈ 0,021.
4. Decyzja. 0,021 < 0,05, więc odrzucamy hipotezę o równym podziale preferencji.
5. Przedział ufności. Dokładny 95% przedział Cloppera-Pearsona dla odsetka wybierających online: od 55,5% do 99,7%.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Zajęcia online wybrało 90% badanych. Gdyby studenci wybierali „rzutem monetą”, wynik co najmniej tak jednostronny jak 9:1 (w którąkolwiek stronę) zdarzałby się w około 2% badań – to właśnie mówi wartość p. Przedział ufności od 55,5% do 99,7% przypomina jednak, że przy 10 osobach prawdziwy odsetek może być zarówno ledwo większy od połowy, jak i bliski 100%. Pytanie „czy więcej niż połowa?” jest kierunkowe. Jeśli taką hipotezę zapisałeś przed badaniem, możesz podać p jednostronne: 11/1024 ≈ 0,011.

Jak policzyć test dwumianowy w R?

k <- 9; n <- 10; p0 <- 0.5     # 9 z 10 studentów woli zajęcia online

# 1) „ręcznie”: prawdopodobieństwa wszystkich wyników 0–10
px <- dbinom(0:n, n, p0)
dbinom(k, n, p0)                          # P(X = 9) = 0.0098 – to NIE jest p
sum(px[px <= dbinom(k, n, p0)])           # p dwustronne = 22/1024 = 0.0215

# 2) gotową funkcją (dokładne p i przedział Cloppera-Pearsona)
binom.test(k, n, p = p0)

# 3) wersja jednostronna („więcej niż połowa”) – tylko z hipotezą kierunkową
binom.test(k, n, p = p0, alternative = "greater")$p.value

Wynik w konsoli R:

[1] 0.009765625
[1] 0.02148437

	Exact binomial test

data:  k and n
number of successes = 9, number of trials = 10, p-value =
0.02148
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
 0.5549839 0.9974714
sample estimates:
probability of success 
                   0.9 

[1] 0.01074219

Funkcja binom.test() liczy dokładne p dwustronne tak samo jak w kroku 3 i od razu podaje przedział Cloppera-Pearsona.

Test dwumianowy czy chi-kwadrat zgodności?

Dla dwóch kategorii oba testy odpowiadają na to samo pytanie. Chi-kwadrat korzysta jednak z przybliżenia, które działa dobrze dopiero przy większej liczbie osób. W naszym przykładzie daje p = 0,011, czyli o połowę mniej niż dokładne 0,021. Przy małych grupach wybierz test dwumianowy. Przy kilkuset osobach oba testy dadzą praktycznie ten sam wynik.

Najczęstsze błędy

• Podawanie P(X = k) jako wartości p – tu 0,0098 zamiast 0,021.
• Liczenie p jednostronnego bez wcześniej zapisanej hipotezy kierunkowej.
• Porównywanie dwóch grup testem dwumianowym – to test dla jednej grupy.
• Pisanie „preferencje są równe”, gdy p > 0,05. Poprawnie: brak podstaw do odrzucenia H0.
• Brak przedziału ufności dla odsetka.