Test chi-kwadrat (χ²) – wzór i przykład

Test chi-kwadrat niezależności sprawdza, czy dwie zmienne jakościowe są ze sobą powiązane. Porównuje liczności w tabeli krzyżowej z tym, czego należałoby się spodziewać, gdyby związku nie było. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy studenci chodzący na ćwiczenia częściej zaliczają przedmiot?

Kiedy stosować test chi-kwadrat?

• obie zmienne są jakościowe (tak/nie, kierunek studiów, forma zajęć);
• każda osoba trafia do jednej kratki tabeli – obserwacje są niezależne;
• w tabeli są liczności, a nie procenty ani średnie;
• liczności oczekiwane są dość duże – zwykle przyjmuje się, że co najmniej 80% kratek ma E ≥ 5 i żadna nie ma E < 1 (Cochran, 1954).

Gdy liczności oczekiwane są za małe, użyj dokładnego testu Fishera. Siłę związku opiszesz współczynnikiem phi (tabela 2×2) albo V Cramera (większe tabele). Ten sam wzór służy też do testu zgodności jednej zmiennej z założonymi proporcjami (wtedy df = k − 1). Przy dwóch kategoriach i małej próbie lepszy jest test dwumianowy.

Wzór na statystykę chi-kwadrat

\(O_{ij}\)

liczność obserwowana – ile osób naprawdę trafiło do kratki w wierszu i i kolumnie j

\(E_{ij}\)

liczność oczekiwana – ile osób byłoby w tej kratce, gdyby zmienne nie były powiązane

\(R_i,\ C_j\)

suma w wierszu i oraz suma w kolumnie j

\(N\)

liczba wszystkich osób w tabeli

\(r,\ c\)

liczba wierszy i liczba kolumn tabeli

\(df\)

stopnie swobody – potrzebne, żeby odczytać wartość p

Przykład krok po kroku

Zapytaliśmy 40 studentów, czy regularnie chodzili na ćwiczenia i czy zaliczyli przedmiot. W nawiasach podajemy liczności oczekiwane.

1. Liczności oczekiwane. W każdej kratce \(E = 20 \cdot 20 / 40 = 10\). Wszystkie są większe niż 5.
2. Odchylenia. O − E = 15 − 10 = 5 w kratkach „zgodnych” i 5 − 10 = −5 w pozostałych.
3. Składniki. W każdej kratce \((\pm 5)^2 / 10 = 2{,}5\).
4. Statystyka. χ² = 4 · 2,5 = 10,00; df = (2 − 1)(2 − 1) = 1.
5. Wartość p. Dla χ² = 10,00 i df = 1 program podaje p = 0,0016. Wartość krytyczna przy α = 0,05 wynosi 3,84, a nasze χ² jest od niej wyraźnie większe.
6. Siła związku. \(\varphi = \sqrt{10 / 40} = 0{,}50\).

W tabeli 2×2 część programów stosuje poprawkę Yatesa: przed podniesieniem do kwadratu odejmuje 0,5 od każdego \(|O - E|\). Wtedy \(\chi^2 = 4 \cdot 4{,}5^2 / 10 = 8{,}10\) i p = 0,004. Dokładny test Fishera daje p = 0,004.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Zaliczyło 75% osób chodzących na ćwiczenia i tylko 25% osób, które na nie nie chodziły. Gdyby obie zmienne nie były powiązane, tak duże odchylenie od liczności oczekiwanych zdarzałoby się rzadziej niż w 2 na 1000 badań. Samo χ² nie mówi jednak, jak silny jest związek, bo rośnie razem z liczbą osób. Do tego służy φ = 0,50 – według konwencji Cohena (1988) to efekt duży. Nie jest to też dowód przyczynowości: być może bardziej zmotywowani studenci i chodzą na ćwiczenia, i lepiej się uczą.

Jak policzyć test chi-kwadrat w R?

tabela <- matrix(c(15,  5,
                    5, 15), nrow = 2, byrow = TRUE,
                 dimnames = list(cwiczenia  = c("chodził", "nie chodził"),
                                 zaliczenie = c("tak", "nie")))

# 1) „ręcznie”, dokładnie według wzoru
E <- outer(rowSums(tabela), colSums(tabela)) / sum(tabela)   # wszystkie E = 10
sum((tabela - E)^2 / E)                                       # 10

# 2) gotową funkcją; correct = FALSE wyłącza poprawkę Yatesa
chisq.test(tabela, correct = FALSE)

# 3) dla porównania: domyślnie (z poprawką Yatesa) i test Fishera
chisq.test(tabela)$statistic                                  # 8.1
fisher.test(tabela)$p.value                                   # 0.0038

Wynik w konsoli R:

[1] 10

	Pearson's Chi-squared test

data:  tabela
X-squared = 10, df = 1, p-value = 0.001565

X-squared 
      8.1 
[1] 0.003847527

Uwaga: dla tabeli 2×2 funkcja chisq.test() domyślnie stosuje poprawkę Yatesa (tu χ² = 8,1). Żeby odtworzyć χ² = 10,00 ze wzoru, dopisz correct = FALSE – i w pracy zawsze napisz, którą wersję podajesz.

Poprawka Yatesa czy test Fishera – co wybrać?

Poprawka Yatesa dotyczy tylko tabel 2×2 i sprawia, że test jest ostrożniejszy, czyli daje większe p. Wielu autorów uważa ją dziś za zbyt zachowawczą i przy małych licznościach oczekiwanych poleca od razu dokładny test Fishera, który nie korzysta z przybliżenia (Agresti, 2013). Praktyczna reguła dla tabeli 2×2: gdy wszystkie E są duże, podaj zwykłe χ²; gdy któraś E jest mniejsza niż 5 – test Fishera. Więcej o raportowaniu znajdziesz we wpisie test chi-kwadrat – przykład.

Najczęstsze błędy

• Wpisywanie do tabeli procentów zamiast liczności.
• Liczenie tej samej osoby w kilku kratkach (np. przy pytaniach wielokrotnego wyboru).
• Sprawdzanie założenia na licznościach obserwowanych zamiast oczekiwanych.
• Wniosek przyczynowy („ćwiczenia powodują zaliczenie”) na podstawie samego testu.
• Podawanie χ² bez df, N i miary siły związku.