Średnia ważona – wzór i przykład obliczeń

Średnia ważona to średnia, w której jedne wartości liczą się bardziej niż inne – każda dostaje swoją wagę. Typowe pytanie studenta: jak policzyć średnią ocen, gdy przedmioty mają różną liczbę punktów ECTS?

Kiedy stosować średnią ważoną?

• liczysz średnią ocen ważoną punktami ECTS (stypendium, rekrutacja na studia II stopnia);
• łączysz średnie z kilku grup o różnej liczebności w jedną średnią ogólną – wagami są liczebności;
• budujesz ocenę końcową z części o różnym znaczeniu (np. kolokwium 60%, projekt 40%);
• analizujesz ankietę z wagami, które poprawiają niereprezentatywny skład próby.

Gdy wszystkie wartości są tak samo ważne, wystarczy średnia arytmetyczna. Do średniej prędkości na równych odcinkach drogi potrzebujesz średniej harmonicznej, a przy wynikach skrajnych lepiej sprawdzi się mediana.

Wzór na średnią ważoną

\(x_i\)

i-ta wartość, np. ocena z przedmiotu

\(w_i\)

waga tej wartości, np. liczba punktów ECTS; wagi nie mogą być ujemne i nie mogą być wszystkie równe zero

\(k\)

liczba uśrednianych wartości

\(\sum w_i x_i\)

suma iloczynów „wartość × waga”

\(\sum w_i\)

suma wag – przez nią dzielisz, a nie przez liczbę wartości

\(v_i\)

waga znormalizowana: udział danej wartości w całości; wszystkie v sumują się do 1

Wagi nie muszą sumować się do 1 ani do 100%, bo wzór sam je „normalizuje”, dzieląc przez sumę wag. Ten sam wynik dostaniesz, gdy wagami będą punkty ECTS (5, 3, 2), procenty (50%, 30%, 20%) albo ułamki (0,5; 0,3; 0,2). W ankietach wagi (np. gdy w próbie jest za mało mężczyzn) wylicza się z danych o populacji, a ich użycie trzeba opisać w rozdziale metodologicznym (Kish, 1965).

Przykład krok po kroku

Studentka ma trzy oceny w semestrze. Przedmioty mają różną liczbę punktów ECTS:

1. Iloczyny. 3 · 5 = 15, 4 · 3 = 12, 5 · 2 = 10.
2. Sumy. Suma iloczynów: 15 + 12 + 10 = 37. Suma wag: 5 + 3 + 2 = 10.
3. Średnia ważona. 37 / 10 = 3,70.
4. Porównanie. Zwykła średnia to (3 + 4 + 5) / 3 = 4,00. Statystyka ma połowę wszystkich punktów (5 z 10), więc „przyciąga” średnią w stronę trójki.
5. Kontrola wagami znormalizowanymi. 0,5 · 3 + 0,3 · 4 + 0,2 · 5 = 1,5 + 1,2 + 1,0 = 3,7.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Średnia ważona 3,70 jest niższa od zwykłej, bo najsłabszą ocenę studentka dostała z przedmiotu o największej liczbie punktów. Średnia ważona zawsze leży między najmniejszą a największą wartością, a bliżej tych, które mają większe wagi. Zanim policzysz średnią do stypendium, sprawdź w regulaminie uczelni, czy jest ważona punktami ECTS i jak liczy się oceny z poprawek. W pracy zawsze napisz, co było wagą. Średnia ważona nie jest „lepsza” od zwykłej – odpowiada na inne pytanie. Zwykła średnia mówi, jaką ocenę studentka dostaje z typowego przedmiotu, a ważona – jaką ocenę „ma” typowy punkt ECTS w jej semestrze.

Jak policzyć średnią ważoną w R?

ocena <- c(3, 4, 5)        # Statystyka, Psychologia społeczna, Seminarium
ects  <- c(5, 3, 2)        # wagi: punkty ECTS

# 1) „ręcznie”, według wzoru
sum(ocena * ects) / sum(ects)

# 2) gotową funkcją i dla porównania zwykła średnia
weighted.mean(ocena, w = ects)
mean(ocena)

# 3) to samo: każda ocena powtórzona tyle razy, ile ma ECTS
mean(rep(ocena, times = ects))

# 4) średnia wszystkich osób z dwóch grup o różnej liczebności
weighted.mean(c(4, 3), w = c(10, 30))   # a nie (4 + 3) / 2

Wynik w konsoli R:

[1] 3.7
[1] 3.7
[1] 4
[1] 3.7
[1] 3.25

W Excelu wpisz oceny w kolumnie B, wagi w kolumnie C i użyj formuły =SUMA.ILOCZYNÓW(B2:B4;C2:C4)/SUMA(C2:C4).

Czy można policzyć średnią ze średnich grup?

Tylko wtedy, gdy grupy są równoliczne. Grupa ćwiczeniowa A (10 osób) ma średnią 4,0, a grupa B (30 osób) – 3,0. Średnia z tych dwóch średnich to 3,5, ale średnia wszystkich 40 osób wynosi (10 · 4,0 + 30 · 3,0) / 40 = 130 / 40 = 3,25. To średnia ważona z wagami równymi liczebnościom – i zawsze daje to samo co średnia z surowych danych. Ten sam błąd pojawia się przy łączeniu wyników z kilku badań, roczników albo uczelni.

Najczęstsze błędy

• Dzielenie sumy iloczynów przez liczbę ocen zamiast przez sumę wag.
• Liczenie średniej ze średnich grup o różnej liczebności.
• Zamiana ról: wpisanie punktów ECTS jako wartości, a ocen jako wag.
• Ujemne wagi albo wagi, które sumują się do zera.
• Brak informacji w pracy, co było wagą i dlaczego.