Mediana – wzór, przykład i porównanie ze średnią

Mediana to wynik środkowy: połowa osób ma wynik nie wyższy od niej, a połowa – nie niższy. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: ile kubków kawy tygodniowo wypija „typowy” student w sesji, skoro jedna osoba pije ich 21?

Kiedy stosować medianę?

• zmienna jest co najmniej porządkowa: ocena zajęć 1–5, wykształcenie;
• rozkład jest skośny albo są w nim wartości odstające: dochody, czas dojazdu, liczba wypitych kaw;
• próba jest mała i jeden nietypowy wynik mógłby „przeciągnąć” średnią.

Medianę zwykle raportuje się razem z rozstępem międzykwartylowym – zobacz hasło o kwartylach i IQR. Dla danych symetrycznych bez wartości odstających lepsza będzie średnia arytmetyczna, a dla zmiennych nominalnych – moda. O tym, czy rozkład jest skośny, powie Ci współczynnik skośności.

Wzór na medianę

\(Me\)

mediana (w anglojęzycznym stylu APA: Mdn)

\(x_{(k)}\)

wynik stojący na k-tym miejscu po uporządkowaniu od najmniejszego do największego; \(x_{(3)}\) to trzeci wynik w kolejce, a nie wynik trzeciej osoby w arkuszu

\(n\)

liczba wyników (bez braków danych)

\(\frac{n+1}{2}\)

numer miejsca środkowego wyniku, gdy n jest nieparzyste

Przykład krok po kroku

Zaczynamy od tych samych wyników snu co w haśle o średniej: 6, 2, 7, 4, 6 godzin. Potem dokładamy szóstą osobę i sprawdzamy dane o kawie.

1. Uporządkuj wyniki. 6, 2, 7, 4, 6 → 2, 4, 6, 6, 7.
2. n nieparzyste. n = 5, więc środek to pozycja (5 + 1) / 2 = 3. Me = 6 godzin. Średnia wynosi 5 – jest niższa, bo w dół ciągnie ją osoba, która spała 2 godziny.
3. n parzyste. Szósta osoba spała 3 godziny: 2, 3, 4, 6, 6, 7. Środek wypada między pozycjami 3 i 4, więc Me = (4 + 6) / 2 = 5 godzin.
4. Wartość odstająca. Siedmioro studentów pije w tygodniu sesji 1, 2, 2, 4, 6, 6 i 21 kubków kawy. Środek to pozycja 4, więc Me = 4 kubki. Średnia wynosi 42 / 7 = 6 kubków, bo w górę ciągnie ją jedna osoba.
5. Test odporności. Gdyby ostatnia osoba piła 7 kubków zamiast 21, mediana nadal wynosiłaby 4, a średnia spadłaby do 28 / 7 = 4.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Połowa studentów pije w tygodniu sesji nie więcej niż 4 kubki kawy, a połowa – co najmniej 4. Mediana lepiej opisuje tu „typowego” studenta niż średnia, bo jest mało wrażliwa na wartości odstające (Leys i in., 2013). Podaj ją razem z rozstępem międzykwartylowym: Q1 = 2, Q3 = 6, więc IQR = 4. Nie łącz mediany z odchyleniem standardowym, bo SD tak samo mocno reaguje na skrajne wyniki jak średnia.

Jak policzyć medianę w R?

sen  <- c(6, 2, 7, 4, 6)
kawa <- c(1, 2, 2, 4, 6, 6, 21)

# 1) „ręcznie”: sortowanie i środkowa pozycja (n nieparzyste)
x <- sort(sen); n <- length(x)
x                                     # 2 4 6 6 7
x[(n + 1) / 2]                        # 3. pozycja: 6

# 2) gotową funkcją
median(sen)
median(c(sen, 3))                     # n = 6: (4 + 6) / 2 = 5

# 3) mediana a średnia przy wartości odstającej
c(srednia = mean(kawa), mediana = median(kawa))
quantile(kawa, c(0.25, 0.5, 0.75))    # Q1, mediana, Q3

Wynik w konsoli R:

[1] 2 4 6 6 7
[1] 6
[1] 6
[1] 5
srednia mediana 
      6       4 
25% 50% 75% 
  2   4   6 

Funkcja quantile() domyślnie liczy kwartyle inną metodą niż SPSS. Dla danych o kawie wynik jest ten sam, ale w innych zbiorach Q1 i Q3 mogą się różnić.

Czy test U Manna-Whitneya porównuje mediany?

Nie do końca, choć tak często się pisze. Test U sprawdza, czy wyniki jednej grupy bywają zwykle wyższe niż wyniki drugiej. O różnicy median można mówić tylko wtedy, gdy rozkłady w obu grupach mają podobny kształt (Divine i in., 2018). Mediany grup podawaj jako opis danych, ale wynik testu formułuj ostrożnie: „wyniki w grupie A były zwykle wyższe”, a nie „mediana w grupie A była istotnie wyższa”. Więcej w haśle o teście U Manna-Whitneya.

Najczęstsze błędy

• Szukanie środka w nieposortowanych danych: w arkuszu 6, 2, 7, 4, 6 „środkowa” liczba to 7, a mediana to 6.
• Wybieranie jednej z dwóch środkowych wartości przy parzystym n zamiast ich średniej.
• Mylenie mediany ze środkiem zakresu (min + max) / 2 – dla danych o kawie to 11, a mediana wynosi 4.
• Podawanie mediany z odchyleniem standardowym zamiast z IQR.
• Liczenie mediany dla zmiennej nominalnej, np. kierunku studiów – tu sens ma tylko moda.