Średnia harmoniczna – wzór, zastosowania i przykład

Średnia harmoniczna to średnia dla wielkości typu „coś na jednostkę”, takich jak prędkość (km na godzinę) czy cena (zł za sztukę). Typowe pytanie: jaka była Twoja średnia prędkość, jeśli na uczelnię jechałeś rowerem 20 km/h, a z powrotem 30 km/h?

Kiedy stosować średnią harmoniczną?

• uśredniasz prędkości na równych odcinkach drogi (tam i z powrotem, kolejne okrążenia);
• uśredniasz wskaźniki „na jednostkę”, gdy stała jest wielkość z licznika – np. średnia cena paczki kawy, gdy za każdym razem wydajesz tę samą kwotę;
• w statystyce: liczysz średnią liczebność grup o różnej wielkości w teście Tukeya (wersja Tukeya-Kramera) albo w analizie mocy.

Gdy stały jest czas (np. jedziesz po 25 minut z każdą prędkością), wystarczy średnia arytmetyczna. Gdy odcinki drogi są różnej długości, użyj ważonej średniej harmonicznej – to bliska krewna średniej ważonej. Do średniego tempa zmian, np. przeciętnego wzrostu liczby obserwujących w procentach, służy średnia geometryczna, a nie harmoniczna.

W samej statystyce średnia harmoniczna pojawia się, gdy grupy mają różną liczebność. Dla grup liczących 10 i 40 osób wynosi 2 / (1/10 + 1/40) = 16, a nie 25. To rozsądne, bo precyzję porównania ogranicza głównie mniejsza grupa. Tak samo działa miara F1 w ocenie klasyfikatorów – to średnia harmoniczna precyzji i czułości.

Wzór na średnią harmoniczną

\(x_i\)

i-ta wartość, np. prędkość na i-tym odcinku; musi być większa od zera

\(n\)

liczba wartości (odcinków)

\(1/x_i\)

odwrotność wartości, np. liczba godzin na jeden kilometr

\(H_w,\ w_i\)

ważona średnia harmoniczna; wagi to np. długości odcinków drogi w km

\(H \le G \le A\)

średnia harmoniczna nigdy nie jest większa od geometrycznej (G), a ta od arytmetycznej (A); równość zachodzi tylko dla jednakowych wartości

Przykład krok po kroku

Na uczelnię jest 10 km. Student jedzie tam rowerem z prędkością 20 km/h, a wraca z prędkością 30 km/h.

1. Odwrotności. 1/20 = 0,05 i 1/30 = 0,0333. Suma: 0,0833 (dokładnie 5/60).
2. Średnia harmoniczna. H = 2 / 0,0833 = 24 km/h.
3. Kontrola. Cała droga przez cały czas: 20 km / 0,833 h = 24 km/h. Zgadza się.
4. Porównanie. Średnia arytmetyczna (20 + 30) / 2 = 25 km/h jest za duża, bo traktuje 30 minut wolnej jazdy tak samo jak 20 minut szybkiej.
5. To samo dla cen. Dwa razy wydajesz po 60 zł na kawę: raz po 20 zł za paczkę (3 paczki), raz po 30 zł (2 paczki). Średnia cena: 120 zł / 5 paczek = 24 zł – znowu średnia harmoniczna.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Średnia prędkość 24 km/h oznacza, że jadąc cały czas z tą prędkością, pokonałbyś obie trasy w tym samym czasie – 50 minut. Średnia harmoniczna jest zawsze bliższa mniejszym wartościom, bo to one „zabierają” najwięcej czasu. Ten sam rachunek przyda się przy pisaniu pracy: jeśli jeden rozdział piszesz w tempie 2 stron na godzinę, a drugi, równie długi, w tempie 4 stron, średnie tempo wynosi 2,67 strony na godzinę, a nie 3. Pamiętaj, że wzór działa tylko dla wartości dodatnich: zerowa prędkość oznaczałaby nieskończenie długą jazdę. W pracy napisz wprost, co uśredniasz i co było stałe – droga, kwota czy czas.

Jak policzyć średnią harmoniczną w R?

v <- c(20, 30)            # km/h: na uczelnię i z powrotem, po 10 km

# 1) „ręcznie”, według wzoru
length(v) / sum(1 / v)

# 2) gotowymi funkcjami i dla porównania średnia arytmetyczna
psych::harmonic.mean(v)
DescTools::Hmean(v)
mean(v)                   # 25 – tu błędna

# 3) kontrola: cała droga podzielona przez cały czas
czas <- 10 / v            # godziny na każdym odcinku
20 / sum(czas)

# 4) ważona średnia harmoniczna: odcinki 10 km i 5 km
km <- c(10, 5)
sum(km) / sum(km / v)

Wynik w konsoli R:

[1] 24
[1] 24
[1] 24
[1] 25
[1] 24
[1] 22.5

Ostatni wiersz to ważona średnia harmoniczna: 10 km z prędkością 20 km/h i 5 km z prędkością 30 km/h daje 15 km / 0,667 h = 22,5 km/h.

Średnia arytmetyczna, geometryczna czy harmoniczna?

Arytmetyczną wybierz, gdy wartości się sumują, a każda ma taką samą „wagę” (np. równe odcinki czasu). Geometryczną – gdy wartości się mnożą, czyli przy tempie zmian: wzrost o 10% i o 30% daje średnio √(1,1 · 1,3) ≈ 1,196, czyli około 19,6% na okres. Harmoniczną – gdy uśredniasz stosunki przy stałym liczniku. Dla prędkości 20 i 30 km/h: H = 24 ≤ G = 24,49 ≤ A = 25.

Najczęstsze błędy

• Liczenie średniej prędkości na równych odcinkach drogi jako średniej arytmetycznej.
• Używanie średniej harmonicznej do stóp procentowych lub tempa wzrostu – tam potrzebna jest średnia geometryczna.
• Prosta średnia harmoniczna przy odcinkach o różnej długości zamiast wersji ważonej.
• Wstawianie do wzoru zer lub wartości ujemnych.