Średnia arytmetyczna – wzór, przykład i interpretacja

Średnia arytmetyczna to suma wszystkich wyników podzielona przez ich liczbę – najczęściej używana miara „typowego” wyniku. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: ile godzin śpią przeciętnie studenci w noc przed kolokwium?

Kiedy stosować średnią arytmetyczną?

• zmienna jest ilościowa: godziny, punkty, wiek, wynik całej skali kwestionariusza;
• rozkład wyników jest w miarę symetryczny i nie ma w nim skrajnych wartości odstających;
• planujesz dalsze analizy oparte na średnich, np. test t albo analizę wariancji.

Średnią prawie zawsze podawaj razem z odchyleniem standardowym. Gdy rozkład jest wyraźnie skośny albo zmienna jest porządkowa, lepszym wyborem będzie mediana. Dla zmiennych nominalnych, takich jak kierunek studiów, średnia nie ma sensu – zostaje moda. Gdy wyniki mają różną wagę (np. oceny i punkty ECTS), policz średnią ważoną.

Wzór na średnią arytmetyczną

\(\bar{x}\)

średnia z próby; w pracy w stylu APA oznaczasz ją literą M

\(x_i\)

wynik i-tej osoby, np. liczba godzin snu

\(n\)

liczba osób, które mają wynik (braki danych nie wchodzą do n)

\(\sum\)

znak sumy: dodaj do siebie wszystkie wyniki

\(\sum (x_i - \bar{x}) = 0\)

własność średniej: odchylenia w górę i w dół zawsze się znoszą

Przykład krok po kroku

Pięcioro studentów zapisało, ile godzin spało w noc przed kolokwium. Na tych samych danych liczymy w słowniku medianę, odchylenie standardowe i błąd standardowy.

1. Suma wyników. 6 + 2 + 7 + 4 + 6 = 25 godzin.
2. Liczba osób. n = 5.
3. Średnia. M = 25 / 5 = 5 godzin.
4. Kontrola. Odejmij średnią od każdego wyniku: 1, −3, 2, −1, 1. Suma odchyleń wynosi 0. Jeśli wyjdzie Ci inna liczba, gdzieś jest błąd rachunkowy.
5. Test odporności. Załóżmy, że przy wpisywaniu danych ktoś wpisał 27 zamiast 7. Suma rośnie do 45, a średnia do 45 / 5 = 9 godzin. Mediana nadal wynosi 6.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Studenci spali przed kolokwium średnio 5 godzin. Nie znaczy to, że ktokolwiek spał dokładnie 5 godzin. Średnia to wartość „wyrównana”, a nie wynik konkretnej osoby. Dlatego obok niej podaj miarę rozrzutu: odchylenie standardowe wynosi tu 2 godziny. Pamiętaj też, że średnia z pięciu osób jest mało precyzyjna. Jak bardzo, mówi błąd standardowy średniej.

Jak policzyć średnią w R?

sen <- c(6, 2, 7, 4, 6)

# 1) „ręcznie”, dokładnie według wzoru
sum(sen) / length(sen)               # 25 / 5 = 5

# 2) gotową funkcją
mean(sen)
sum(sen - mean(sen))                 # odchylenia od średniej sumują się do 0
summary(sen)                         # średnia obok minimum, kwartyli i mediany

# 3) brak danych: bez na.rm = TRUE wynik to NA
sen_na <- c(6, 2, 7, 4, 6, NA)
mean(sen_na)
mean(sen_na, na.rm = TRUE)

# 4) pomyłka przy wpisywaniu (27 zamiast 7)
sen_blad <- c(6, 2, 27, 4, 6)
c(srednia = mean(sen_blad), mediana = median(sen_blad))

Wynik w konsoli R:

[1] 5
[1] 5
[1] 0
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
      2       4       6       5       6       7 
[1] NA
[1] 5
srednia mediana 
      9       6 

Funkcja mean() przy choćby jednym braku danych zwraca NA. To celowe: R nie zgaduje za Ciebie, co zrobić z brakami. Argument na.rm = TRUE liczy średnią z dostępnych wyników.

Średnia czy mediana – co wybrać?

Jeśli rozkład jest mniej więcej symetryczny, średnia i mediana leżą blisko siebie. Wtedy zwykle podaje się średnią, bo korzystają z niej dalsze testy. Gdy rozkład jest skośny (dochody, czas dojazdu, liczba wypitych kaw) albo w danych są wartości odstające, mediana lepiej opisuje typowego studenta. Średnia jest na takie wartości bardzo wrażliwa (Leys i in., 2013). Dobra praktyka: policz obie miary. Jeśli wyraźnie się różnią, obejrzyj histogram, zanim wybierzesz. Pojedyncze pytanie na skali 1–5 daje dane porządkowe, więc raportuj medianę albo rozkład odpowiedzi. Średnią z kilku pytań tworzących skalę liczy się powszechnie.

Najczęstsze błędy

• Liczenie średniej z kodów zmiennej nominalnej, np. „średni kierunek studiów = 2,0”.
• Braki danych zakodowane jako 0 albo 99 i policzone jak zwykłe wyniki. Jedna „99” zawyży średnią bardziej niż pomyłka z Rys. 2.
• Liczenie średniej ze średnich grup o różnej liczebności zamiast średniej ważonej.
• Podawanie średniej bez odchylenia standardowego i bez liczby osób.
• Raportowanie samej średniej przy silnie skośnym rozkładzie, który lepiej opisuje mediana.