Test Wilcoxona dla par – wzór i przykład

Test Wilcoxona dla par (test rangowanych znaków) porównuje dwa pomiary u tych samych osób, gdy nie chcesz zakładać, że różnice mają rozkład normalny – np. przy ocenach na skali 1–10 albo w bardzo małej grupie. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy po warsztatach antystresowych uczestnicy oceniają swoje samopoczucie lepiej niż przed nimi?

Kiedy stosować test Wilcoxona dla par?

• te same osoby zmierzono dwa razy (przed i po) albo masz dobrane pary;
• zmienna jest co najmniej porządkowa, a różnice da się uporządkować według wielkości;
• rozkład różnic jest wyraźnie nienormalny, ma wartości odstające albo par jest bardzo mało – wtedy to bezpieczniejsza alternatywa dla testu t dla prób zależnych.

Dwie różne grupy osób porównasz testem U Manna-Whitneya – to inny test, choć bywa nazywany „testem sumy rang Wilcoxona”. Przy trzech i więcej pomiarach użyj testu Friedmana (zobacz też: testy nieparametryczne).

Wzór na statystykę T Wilcoxona

\(d_i\)

różnica u i-tej osoby: wynik „po” minus wynik „przed”; różnice równe 0 pomijasz

\(R_i\)

ranga wartości bezwzględnej różnicy \(|d_i|\): najmniejsza zmiana dostaje rangę 1; równe \(|d_i|\) dostają średnią rangę

\(T_{+},\ T_{-}\)

suma rang wzrostów i suma rang spadków

\(n\)

liczba niezerowych różnic

\(T\)

statystyka testu – mniejsza z dwóch sum

Siłę efektu opisuje korelacja rangowo-dwuseryjna dla par: \( r_{rb} = \dfrac{T_{+} - T_{-}}{T_{+} + T_{-}} \). Wynosi 0, gdy wzrosty i spadki „ważą” tyle samo, i ±1, gdy wszystkie zmiany idą w jedną stronę (Kerby, 2014).

Przykład krok po kroku

Pięcioro uczestników warsztatów antystresowych oceniło samopoczucie na skali 1–10 przed zajęciami i po nich. Dane dobraliśmy tak, żeby nie było różnic zerowych ani równych wartości \(|d|\).

1. Różnice. 2, 3, −1, 4, 5. Żadna nie jest zerem, więc n = 5.
2. Rangi. Ustaw wartości \(|d|\) od najmniejszej do największej: \(|-1| = 1\) dostaje rangę 1, a zmiana o 5 punktów – rangę 5. Znak zostaje przy randze.
3. Sumy rang. T+ = 2 + 3 + 4 + 5 = 14, T− = 1. Kontrola: 14 + 1 = 15 = 5 · 6 / 2.
4. Statystyka. T = min(14, 1) = 1.
5. Wartość p. Gdy H0 jest prawdziwa, przy 5 parach jest 2⁵ = 32 równie prawdopodobnych układów znaków. Wynik co najmniej tak skrajny jak nasz (T+ = 0, 1, 14 lub 15) dają 4 z nich: p = 4/32 = 0,125.
6. Wielkość efektu. \(r_{rb} = (14 - 1)/15 \approx 0{,}87\).

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Cztery z pięciu osób poprawiły samopoczucie, a jedyny spadek był najmniejszą zmianą w grupie. Mimo to p = 0,125, więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Nie znaczy to, że warsztaty nie działają: przy pięciu parach test nie może dać p mniejszego niż 0,0625. Test Wilcoxona nie jest też „testem median”. Sprawdza, czy różnice układają się symetrycznie wokół zera, czyli czy wzrosty i spadki „ważą” tyle samo. Dlatego w opisie podaj mediany obu pomiarów, T, p i r_rb.

Jak policzyć test Wilcoxona w R?

przed <- c(3, 5, 4, 2, 1)
po    <- c(5, 8, 3, 6, 6)

# 1) „ręcznie”: różnice, rangi |d| i sumy rang
d <- po - przed                                     # 2 3 -1 4 5
R <- rank(abs(d))                                   # 2 3 1 4 5
c(T_plus = sum(R[d > 0]), T_minus = sum(R[d < 0]))  # 14 i 1

# 2) gotową funkcją (V = suma rang wzrostów, p dokładne)
wilcox.test(po, przed, paired = TRUE)

# 3) wielkość efektu: korelacja rangowo-dwuseryjna dla par
effectsize::rank_biserial(po, przed, paired = TRUE)

# 4) zera lub remisy |d|: dokładne p z pakietu coin
#    (dane z hasła o teście t dla prób zależnych – jedna różnica = 0)
przed2 <- c(5, 3, 6, 4, 2); po2 <- c(7, 3, 9, 10, 6)
coin::wilcoxsign_test(po2 ~ przed2, distribution = "exact", zero.method = "Wilcoxon")

Wynik w konsoli R:

 T_plus T_minus 
     14       1 

	Wilcoxon signed rank exact test

data:  po and przed
V = 14, p-value = 0.125
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

r (rank biserial) |       95% CI
--------------------------------
0.87              | [0.34, 0.98]

	Exact Wilcoxon Signed-Rank Test

data:  y by x (pos, neg) 
	 stratified by block
Z = 1.8257, p-value = 0.125
alternative hypothesis: true mu is not equal to 0

R nazywa statystykę literą V – to T+ (tu 14). Przy zerach lub równych \(|d|\) wilcox.test() przechodzi na przybliżenie i wyświetla ostrzeżenie; dokładne p da wtedy pakiet coin. W danych z hasła o teście t dla prób zależnych jedna różnica jest zerem: zostają 4 dodatnie różnice (T = 0), a dokładne p wynosi 0,125.

Test Wilcoxona czy test t dla prób zależnych?

Jeśli różnice mają rozkład zbliżony do normalnego, test t ma nieco większą moc. Dla naszych danych daje t(4) = 2,53 i p = 0,065 – też wynik nieistotny, ale bliżej progu. Test Wilcoxona wybierz, gdy masz skalę porządkową (np. ocenę 1–10), silnie skośne różnice albo wartości odstające. Decyzję podejmij przed analizą, a nie po sprawdzeniu, który test daje „lepsze” p.

Najczęstsze błędy

• Pisanie, że test „porównuje mediany” obu pomiarów.
• Mylenie testu dla par z testem U Manna-Whitneya dla grup niezależnych.
• Rangowanie różnic ze znakiem zamiast ich wartości bezwzględnych.
• Zapominanie, że różnice zerowe się pomija – zmniejszają one n.
• Wniosek „warsztaty nie działają” przy p > 0,05 w bardzo małej próbie.