Test t Studenta dla prób zależnych – wzór i przykład

Test t dla prób zależnych sprawdza, czy średnia zmiana u tych samych osób (np. przed i po) jest większa, niż mógłby ją „zrobić” przypadek. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy po warsztatach studenci zdobywają więcej punktów w teście wiedzy niż przed nimi?

Kiedy stosować test t dla prób zależnych?

• te same osoby zmierzono dwa razy (przed i po, rano i wieczorem) albo masz dobrane pary (np. rodzeństwo);
• zmienna jest ilościowa (punkty, czas, wynik skali);
• rozkład różnic między pomiarami jest zbliżony do normalnego – sprawdzasz różnice, a nie surowe wyniki, np. testem Shapiro-Wilka;
• każda osoba ma oba pomiary – osoba z jednym wynikiem wypada z analizy.

Gdy różnice są wyraźnie skośne albo dane są porządkowe (np. ocena 1–5), wybierz test Wilcoxona. Gdy pomiarów jest więcej niż dwa – ANOVA z powtarzanymi pomiarami. Dwie różne grupy osób porównasz testem t dla prób niezależnych.

Wzór na test t dla prób zależnych

\(d_i\)

różnica u i-tej osoby: wynik „po” minus wynik „przed”

\(\bar{d}\)

średnia różnica, czyli przeciętna zmiana w grupie

\(s_d\)

odchylenie standardowe różnic – mówi, jak bardzo zmiany różnią się między osobami

\(n\)

liczba par, czyli osób z oboma pomiarami

\(s_d / \sqrt{n}\)

błąd standardowy średniej różnicy – „szum” w mianowniku

\(df\)

stopnie swobody – potrzebne, żeby odczytać wartość p

Przykład krok po kroku

Pięcioro studentów napisało krótki test wiedzy (0–10 punktów) przed warsztatami z pisania pracy i po nich. Od wyniku „po” odejmujemy wynik „przed” u każdej osoby.

1. Średnia różnica. \(\bar{d} = 15 / 5 = 3\) punkty. To tyle samo co różnica średnich: 7 − 4 = 3.
2. Odchylenie standardowe różnic. Suma kwadratów odchyleń wynosi 20, więc \(s_d = \sqrt{20 / 4} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\).
3. Mianownik („szum”). \(s_d / \sqrt{n} = \sqrt{5} / \sqrt{5} = 1\).
4. Statystyka t. t = 3 / 1 = 3,00; stopnie swobody df = 5 − 1 = 4.
5. Wartość p. Dla t = 3,00 i df = 4 program podaje p = 0,040. To mniej niż 0,05, więc wzrost uznajemy za istotny statystycznie. 95% przedział ufności dla średniej zmiany wynosi od 0,22 do 5,78 punktu.
6. Wielkość efektu. \(d_z = \bar{d} / s_d = 3 / 2{,}24 \approx 1{,}34\) – to jedna z wersji d Cohena dla prób zależnych.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Po warsztatach studenci zdobywali średnio o 3 punkty więcej. Gdyby warsztaty niczego nie zmieniały, średnią zmianę tak dużą lub większą otrzymalibyśmy tylko w około 4% podobnych badań – to właśnie mówi wartość p. Siłę efektu opisuje d_z = 1,34; umownie 0,8 i więcej to efekt duży (Cohen, 1988). Dla prób zależnych istnieje kilka wersji d, więc napisz, którą podajesz (Lakens, 2013). Bez grupy kontrolnej nie wiesz też, czy wzrost wynika z warsztatów, czy np. z ponownego rozwiązywania podobnego testu.

Jak policzyć test t dla prób zależnych w R?

przed <- c(5, 3, 6, 4, 2)
po    <- c(7, 3, 9, 10, 6)

# 1) „ręcznie”, dokładnie według wzoru
d <- po - przed                              # różnice: 2 0 3 6 4
t <- mean(d) / (sd(d) / sqrt(length(d)))
t                                            # 3

# 2) gotową funkcją (paired = TRUE to test dla prób zależnych)
t.test(po, przed, paired = TRUE)

# 3) wielkość efektu d_z = średnia różnic / SD różnic
mean(d) / sd(d)                              # 1.34

Wynik w konsoli R:

[1] 3

	Paired t-test

data:  po and przed
t = 3, df = 4, p-value = 0.03994
alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.2235549 5.7764451
sample estimates:
mean difference 
              3 

[1] 1.341641

Kolejność ma znaczenie: t.test(po, przed, paired = TRUE) liczy różnice „po − przed”, więc dodatnie t oznacza wzrost. I-ty wynik w obu wektorach musi należeć do tej samej osoby.

Test t dla prób zależnych czy niezależnych – jak wybrać?

Zadaj sobie jedno pytanie: czy każdy wynik z pierwszej kolumny ma „swojego partnera” w drugiej? Jeśli tak (ta sama osoba albo dobrana para) – wybierz test dla prób zależnych. Jeśli w kolumnach są różne osoby – test dla prób niezależnych. Pomyłka zwykle zabiera moc: tu test dla grup niezależnych dał p = 0,067 zamiast 0,040 (Rys. 3). Test t dla prób zależnych to w praktyce test t dla jednej próby wykonany na różnicach, z wartością odniesienia 0.

Najczęstsze błędy

• Użycie testu dla prób niezależnych, gdy te same osoby zbadano dwa razy.
• Sprawdzanie normalności osobno „przed” i „po” zamiast na różnicach.
• Przestawiona kolejność osób w jednej z kolumn – różnice tracą wtedy sens.
• Pisanie „przyjęto H0”, gdy p > 0,05. Poprawnie: „brak podstaw do odrzucenia H0”.
• Podawanie „d Cohena” bez informacji, którą wersję policzono (d_z, d_av).