Test U Manna-Whitneya – wzór i przykład

Test U Manna-Whitneya porównuje dwie niezależne grupy, gdy nie chcesz zakładać rozkładu normalnego – na przykład przy ocenach na skali 1–5, czasach reakcji z długim „ogonem” albo w bardzo małych grupach. Zamiast średnich porównuje rangi, czyli miejsca wyników w szeregu od najmniejszego do największego.

Kiedy stosować test U Manna-Whitneya?

• porównujesz dwie grupy różnych osób;
• zmienna jest co najmniej porządkowa (da się ustawić wyniki od najmniejszego do największego);
• rozkład wyników jest wyraźnie skośny, ma obserwacje odstające albo grupy są bardzo małe – wtedy jest bezpieczniejszą alternatywą dla testu t Studenta.

Gdy te same osoby badasz dwa razy, użyj testu Wilcoxona. Przy trzech i więcej grupach – testu Kruskala-Wallisa.

Wzór na statystykę U

\(R_1\)

suma rang osób z grupy 1 (rangi nadajesz wszystkim osobom razem)

\(n_1,\ n_2\)

liczba osób w grupie 1 i w grupie 2

\(U_1\)

liczba par, w których osoba z grupy 1 ma wyższy wynik niż osoba z grupy 2 (remis liczy się jako ½)

\(n_1 n_2\)

liczba wszystkich możliwych par – dlatego \(U_1 + U_2 = n_1 n_2\)

Siłę efektu najprościej opisać korelacją rangowo-dwuseryjną: \( r_{rb} = 1 - \dfrac{2U}{n_1 n_2} \). Przyjmuje wartości od 0 (brak przewagi) do 1 (jedna grupa wygrywa we wszystkich parach).

Przykład krok po kroku

Ci sami studenci co w przykładzie z testem t, tylko z innymi wynikami (wybraliśmy je tak, żeby nie było remisów). Notatki: 1, 2, 3, 5, 6 punktów. Quizy: 4, 7, 8, 9, 10 punktów.

1. Rangi. Ustaw wszystkie 10 wyników od najmniejszego do największego i ponumeruj je od 1 do 10 (Tabela 1).
2. Sumy rang. Notatki: 1 + 2 + 3 + 5 + 6 = 17. Quizy: 4 + 7 + 8 + 9 + 10 = 38. Kontrola: 17 + 38 = 55, czyli suma liczb od 1 do 10.
3. Statystyka U. \(U_N = 17 - 5 \cdot 6 / 2 = 17 - 15 = 2\), a \(U_Q = 25 - 2 = 23\). Mniejsza z nich to U = 2.
4. Wartość p. Dla U = 2 i grup po 5 osób dokładna wartość p wynosi 0,032 – mniej niż 0,05.
5. Wielkość efektu. \(r_{rb} = 1 - 2 \cdot 2 / 25 = 0{,}84\). Inaczej: w 23 z 25 par (92%) wyższy wynik ma osoba z grupy Quizy.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Studenci uczący się z quizów częściej mieli wyższe wyniki niż studenci uczący się z notatek. Test U nie jest jednak „testem median”. Mówi o tym, czy wyniki jednej grupy mają tendencję do bycia wyższymi. O różnicy median można mówić tylko wtedy, gdy rozkłady w obu grupach mają podobny kształt (Divine i in., 2018). W opisie podaj średnie rangi lub mediany, U, p i wielkość efektu.

Przy większych grupach programy zamiast dokładnego p podają przybliżenie rozkładem normalnym (statystykę z). Dla naszych danych z = −2,19 i p = 0,028.

Jak policzyć test U w R?

notatki <- c(1, 2, 3, 5, 6)
quizy   <- c(4, 7, 8, 9, 10)

# 1) „ręcznie”: rangi, suma rang i U
rangi <- rank(c(notatki, quizy))
R1 <- sum(rangi[1:5])                 # suma rang grupy Notatki = 17
U1 <- R1 - 5 * (5 + 1) / 2            # 17 - 15 = 2
U1

# 2) gotową funkcją (R nazywa statystykę W, ale to jest U pierwszej grupy)
wilcox.test(notatki, quizy, exact = TRUE)

# 3) wielkość efektu: korelacja rangowo-dwuseryjna
effectsize::rank_biserial(quizy, notatki)

Wynik w konsoli R:

	Wilcoxon rank sum exact test

data:  notatki and quizy
W = 2, p-value = 0.03175
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

r (rank biserial) |       95% CI
--------------------------------
0.84              | [0.44, 0.96]

R nazywa statystykę literą W, ale dla dwóch niezależnych grup jest to dokładnie U pierwszej grupy.

Test U czy test t – który wybrać?

Jeśli wyniki w obu grupach mają rozkład zbliżony do normalnego, test t ma nieco większą moc, czyli łatwiej wykrywa prawdziwą różnicę. Test U wygrywa, gdy rozkłady są mocno skośne, gdy pojawiają się wartości odstające albo gdy zmienna jest tylko porządkowa (np. ocena 1–5). Nie wybieraj testu dopiero po zobaczeniu, który daje „lepsze” p – zdecyduj na podstawie rodzaju danych i opisz tę decyzję w rozdziale metodologicznym.

Najczęstsze błędy

• Pisanie, że test U „porównuje mediany” – bez założenia o podobnym kształcie rozkładów to nieprawda.
• Podawanie średnich wyników zamiast średnich rang lub median.
• Użycie testu U dla tych samych osób zbadanych dwa razy – tu potrzebny jest test Wilcoxona.
• Pomijanie remisów: równe wyniki dostają średnią rangę (np. dwa wyniki na miejscach 4 i 5 dostają po 4,5), a dokładne p trzeba wtedy zastąpić przybliżeniem.