Współczynnik phi (φ) – wzór i przykład dla tabeli 2×2

Współczynnik phi mierzy siłę związku między dwiema zmiennymi dwuwartościowymi (tak/nie, zdał/nie zdał) zestawionymi w tabeli 2×2. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: jak silnie chodzenie na ćwiczenia wiąże się z zaliczeniem przedmiotu?

Kiedy stosować współczynnik phi?

• obie zmienne mają dokładnie dwie kategorie (tabela 2×2);
• chcesz podać wielkość efektu do testu chi-kwadrat;
• obserwacje są niezależne – każda osoba trafia do jednej kratki tabeli.

Dla większych tabel (2×3, 3×3) użyj V Cramera – dla tabeli 2×2 V = |φ|. Gdy obie zmienne są ilościowe, policz zwykłą korelację Pearsona.

Wzór na współczynnik phi

\(a,\ b,\ c,\ d\)

liczności w kratkach: a – „tak/tak”, b – „tak/nie”, c – „nie/tak”, d – „nie/nie”

\(ad - bc\)

iloczyn kratek „zgodnych” minus iloczyn kratek „niezgodnych”: dodatni, gdy przeważa przekątna a–d

\((a + b),\ (c + d)\)

sumy w wierszach

\((a + c),\ (b + d)\)

sumy w kolumnach

\(\chi^2,\ N\)

statystyka chi-kwadrat bez poprawki Yatesa i liczba wszystkich osób

Przykład krok po kroku

Zapytaliśmy 40 studentów, czy regularnie chodzili na ćwiczenia i czy zaliczyli przedmiot (te same dane co w haśle o teście chi-kwadrat).

1. Licznik. ad − bc = 15 · 15 − 5 · 5 = 225 − 25 = 200.
2. Mianownik. \(\sqrt{20 \cdot 20 \cdot 20 \cdot 20} = \sqrt{160\,000} = 400\).
3. Phi. φ = 200 / 400 = 0,50.
4. Kontrola przez χ². Dla tej tabeli χ²(1) = 10,00, więc \(\sqrt{10 / 40} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}50\).
5. Kontrola przez korelację. Zakoduj „chodził” = 1, „nie chodził” = 0 oraz „zaliczył” = 1, „nie zaliczył” = 0. Korelacja Pearsona tych dwóch kolumn wynosi 0,50.

Przy równych sumach wierszy i kolumn phi to po prostu różnica odsetków: zaliczyło 75% chodzących i 25% niechodzących, a 0,75 − 0,25 = 0,50.

Z tej samej tabeli policzysz też iloraz szans (OR), popularny w pracach z nauk o zdrowiu: OR = ad / bc = 225 / 25 = 9. Szansa zaliczenia jest wśród chodzących na ćwiczenia 9 razy większa. OR nie zmienia się, gdy np. zbadasz dwa razy więcej osób chodzących na ćwiczenia (a = 30, b = 10), a φ wtedy spada do 0,48. To dwie różne miary – nie myl ich ze sobą.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Według konwencji Cohena (1988) wartości |φ| około 0,1 to związek słaby, 0,3 – umiarkowany, a 0,5 – silny, więc φ = 0,50 opisuje silny związek. Przy 40 osobach 95% przedział ufności jest jednak szeroki: od 0,19 do 0,81. Pamiętaj też, że gdy sumy w wierszach i kolumnach są nierówne, phi nie może dojść do 1. Na przykład jeśli na ćwiczenia chodzi 30 z 40 osób, a zalicza 20, φ nie przekroczy 0,58. Jak zawsze przy korelacji – związek nie dowodzi przyczynowości.

Jak policzyć współczynnik phi w R?

a <- 15; b <- 5; c <- 5; d <- 15     # kratki tabeli 2×2
tabela <- matrix(c(a, b, c, d), nrow = 2, byrow = TRUE)

# 1) „ręcznie”, dokładnie według wzoru
(a * d - b * c) / sqrt((a + b) * (c + d) * (a + c) * (b + d))   # 0.5

# 2) to samo jako korelacja Pearsona zmiennych 0/1
cwiczenia  <- rep(c(1, 1, 0, 0), times = c(a, b, c, d))
zaliczenie <- rep(c(1, 0, 1, 0), times = c(a, b, c, d))
cor(cwiczenia, zaliczenie)                                      # 0.5

# 3) gotowe funkcje: chi-kwadrat bez poprawki Yatesa i phi z 95% CI
chisq.test(tabela, correct = FALSE)
effectsize::phi(tabela, adjust = FALSE, alternative = "two.sided")

Wynik w konsoli R:

[1] 0.5
[1] 0.5

	Pearson's Chi-squared test

data:  tabela
X-squared = 10, df = 1, p-value = 0.001565

Phi  |       95% CI
-------------------
0.50 | [0.19, 0.81]

Funkcja effectsize::phi() podaje wartość bez znaku. Kierunek związku odczytasz z tabeli albo z ręcznego wzoru.

Czy phi może być ujemne?

Tak. Gdyby w kratkach b i c było więcej osób niż w a i d, licznik ad − bc byłby ujemny. Znak zależy jednak tylko od tego, jak ułożysz tabelę: wystarczy zamienić miejscami kolumny „zaliczył” i „nie zaliczył”, a φ = 0,50 zmieni się w −0,50. Dlatego w pracy podaj wartość φ i opisz słowami, która kombinacja kategorii występowała częściej – np. „osoby chodzące na ćwiczenia częściej zaliczały przedmiot”.

Najczęstsze błędy

• Mnożenie licznika przez N (spotykany błędny wzór) – φ musi mieścić się między −1 a 1.
• Liczenie φ z χ² z poprawką Yatesa: \(\sqrt{8{,}1 / 40} = 0{,}45\) zamiast 0,50.
• Używanie φ dla tabel większych niż 2×2 zamiast V Cramera.
• Podawanie znaku φ bez informacji, jak zakodowano kategorie.
• Wniosek przyczynowy („ćwiczenia powodują zaliczenie”).