V Cramera – wzór, interpretacja i przykład

V Cramera mierzy siłę związku między dwiema zmiennymi jakościowymi w tabeli krzyżowej dowolnej wielkości. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: jak silnie kierunek studiów wiąże się z preferowaną formą zajęć?

Kiedy stosować V Cramera?

• masz tabelę krzyżową dwóch zmiennych jakościowych, co najmniej 2×2 (np. 2×3, 3×4);
• wykonałeś test chi-kwadrat niezależności i chcesz podać wielkość efektu;
• chcesz porównać siłę związku w tabelach o różnej liczbie osób.

Dla tabeli 2×2 V jest równe wartości bezwzględnej współczynnika phi. Dla jednej zmiennej (test zgodności, np. 60 vs 40 osób) V nie ma sensu, bo tabela ma tylko jeden wiersz. Jak opisać całą ankietę krok po kroku, przeczytasz w artykule o opracowaniu wyników ankiety.

Wzór na V Cramera

\(\chi^2\)

statystyka testu chi-kwadrat dla tej tabeli

\(N\)

liczba wszystkich osób w tabeli

\(r,\ k\)

liczba wierszy i liczba kolumn

\(df^{*}\)

mniejsza z liczb r − 1 i k − 1; dla tabeli 2×3 df* = 1, dla 3×4 df* = 2

Dzielenie przez \(N \cdot df^{*}\) „usuwa” z χ² wpływ liczby osób i wielkości tabeli – dzięki temu V zawsze mieści się między 0 a 1.

Przykład krok po kroku

Zapytaliśmy 48 studentów (po 24 z informatyki i psychologii), jaką formę zajęć wolą. W nawiasach podajemy liczności oczekiwane E = suma wiersza · suma kolumny / N.

1. Liczności oczekiwane. \(24 \cdot 24 / 48 = 12\) oraz \(24 \cdot 12 / 48 = 6\). Wszystkie są większe niż 5.
2. Składniki. \((6 - 12)^2/12 = 3\), \((9 - 6)^2/6 = 1{,}5\), \((9 - 6)^2/6 = 1{,}5\); w drugim wierszu tak samo.
3. Chi-kwadrat. χ² = 2 · (3 + 1,5 + 1,5) = 12,00; df = (2 − 1)(3 − 1) = 2; p = 0,0025.
4. df*. min(2 − 1, 3 − 1) = 1.
5. V Cramera. \(V = \sqrt{12 / (48 \cdot 1)} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}50\).

Progi Cohena (1988) zależą od df*. Powstają z progów dla miary w (0,1; 0,3; 0,5) podzielonych przez \(\sqrt{df^{*}}\):

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Przy df* = 1 V = 0,50 osiąga umowny próg efektu dużego (Cohen, 1988). Gdyby ta sama wartość wyszła w tabeli 3×4 (df* = 2), byłaby jeszcze wyraźniej duża, bo próg wynosi tam 0,35. V nie mówi, „w którą stronę” idzie związek – to odczytasz z odsetków w tabeli: psychologowie częściej wybierali zajęcia stacjonarne. W małych próbach V bywa zawyżone; wersja z korektą Bergsmy (2013) daje tu 0,46. Związek nie dowodzi też przyczynowości.

Jeśli w pracy masz kilka tabel krzyżowych, przy każdym V podaj także wymiary tabeli albo df*, np. „V = 0,50 (tabela 2×3, df* = 1)”. Czytelnik od razu sprawdzi wtedy w Tabeli 2, czy to efekt mały, średni czy duży. Bez tej informacji to samo V = 0,30 może oznaczać efekt średni (df* = 1) albo już duży (df* = 4).

Jak policzyć V Cramera w R?

tabela <- matrix(c( 6, 9, 9,
                   18, 3, 3), nrow = 2, byrow = TRUE,
                 dimnames = list(kierunek = c("informatyka", "psychologia"),
                                 forma = c("stacjonarnie", "online", "hybrydowo")))

# 1) „ręcznie”, dokładnie według wzoru
chi2 <- unname(chisq.test(tabela)$statistic)  # 12
df_gw <- min(dim(tabela)) - 1                 # df* = min(r, k) - 1 = 1
sqrt(chi2 / (sum(tabela) * df_gw))            # V = 0.5

# 2) gotowe funkcje: test chi-kwadrat i V z 95% przedziałem ufności
chisq.test(tabela)
effectsize::cramers_v(tabela, adjust = FALSE, alternative = "two.sided")

Wynik w konsoli R:

[1] 0.5

	Pearson's Chi-squared test

data:  tabela
X-squared = 12, df = 2, p-value = 0.002479

Cramer's V |       95% CI
-------------------------
0.50       | [0.18, 0.77]

Argument adjust = FALSE daje klasyczne V ze wzoru. Bez niego pakiet effectsize poda wersję skorygowaną (tu 0,46) – w pracy napisz, którą wersję raportujesz.

V Cramera czy phi – co wybrać?

Dla tabeli 2×2 obie miary dają tę samą liczbę (V = |φ|), ale phi ma znak, który mówi o kierunku związku, gdy obie kategorie da się sensownie zakodować jako 0 i 1. Dla większych tabel phi może przekroczyć 1, więc wybierz V Cramera. Jeśli w pracy masz kilka tabel różnej wielkości, raportuj V i przy interpretacji zawsze sprawdzaj df*.

Najczęstsze błędy

• Ocena siły związku według progów 0,1/0,3/0,5 bez sprawdzenia df*.
• Liczenie V dla jednej zmiennej (test zgodności) – wtedy df* = 0 i wzór nie działa.
• Szukanie w V kierunku związku – V jest zawsze dodatnie.
• Ocenianie siły związku po wielkości χ² albo p, które rosną razem z N.
• Pomijanie małych liczności oczekiwanych – wtedy p trzeba policzyć testem dokładnym Fishera.