Test chi-kwadrat – przykład krok po kroku na danych z ankiety

Test chi-kwadrat niezależności sprawdza, czy dwie zmienne jakościowe, np. dwie odpowiedzi z ankiety, są ze sobą powiązane. Pokazujemy cały przebieg: od tabeli krzyżowej, przez liczności oczekiwane i V Cramera, po reszty standaryzowane, akapit APA i tabelę do pracy. Pytanie z pracy dyplomowej: czy korzystanie z korepetycji zależy od kierunku studiów?

Pytanie badawcze i hipotezy

W ankiecie 90 studentów (po 30 z ekonomii, informatyki i psychologii) odpowiedziało na pytanie: „Czy w tym roku akademickim korzystasz z korepetycji?” (tak/nie). Obie zmienne są jakościowe, więc stosujemy test chi-kwadrat niezależności. Nie myl go z testem zgodności, który porównuje rozkład jednej zmiennej z założonymi proporcjami.

• H0: korzystanie z korepetycji nie zależy od kierunku – odsetek odpowiedzi „tak” jest w populacji taki sam na każdym kierunku;
• H1: korzystanie z korepetycji zależy od kierunku; poziom istotności α = 0,05.

Dane: tabela krzyżowa z ankiety

Z korepetycji korzysta 40% badanych: 60% studentów informatyki, 40% ekonomii i 20% psychologii. Odsetki liczymy w obrębie kierunku, bo to kierunki porównujemy.

Sprawdzenie założeń

• Każda osoba jest w jednej kratce. Test nie nadaje się do pytań wielokrotnego wyboru, w których ta sama osoba trafia do kilku kratek.
• W tabeli są liczności, a nie procenty.
• Liczności oczekiwane są dość duże. E = suma wiersza · suma kolumny / N, czyli 30 · 36 / 90 = 12 oraz 30 · 54 / 90 = 18. Wszystkie E są większe niż 5, więc przybliżenie rozkładem χ² jest uprawnione (Cochran, 1954).

Wynik testu i V Cramera

1. Test chi-kwadrat: χ²(2, N = 90) = 10,00; p = 0,007. Stopnie swobody: (3 − 1)(2 − 1) = 2. Odrzucamy H0.
2. Siła związku: V Cramera = \(\sqrt{10 / (90 \cdot 1)}\) = 0,33; 95% CI [0,10; 0,53]. Jedynka w mianowniku to mniejsza z dwóch liczb: liczba wierszy − 1 i liczba kolumn − 1. Tabela ma dwie kolumny, więc obowiązują progi Cohena (1988) 0,10 / 0,30 / 0,50 – to związek średni.
3. Co dalej: samo χ² mówi tylko, że odsetki „tak” nie są wszędzie takie same. Gdzie leży różnica, pokażą reszty standaryzowane.

Reszty standaryzowane – gdzie leży związek?

Skorygowana reszta standaryzowana (Agresti, 2013) mówi, o ile odchyleń standardowych liczność w kratce odbiega od oczekiwanej. Wartości poza ±1,96 wskazują kratki częstsze lub rzadsze, niż wynikałoby z przypadku. Na informatyce reszta dla odpowiedzi „tak” wynosi +2,74, na psychologii −2,74, a na ekonomii 0,00. Przy sześciu kratkach warto zaostrzyć próg poprawką Bonferroniego do ±2,64 (Sharpe, 2015). Obie reszty nadal go przekraczają.

Jak opisać wynik w pracy?

W nocie pod tabelą podaj wynik testu i zaznacz, że odsetki liczono w obrębie kierunku. Pod wykresem wyjaśnij, że każdy słupek to 100% studentów danego kierunku. Pełny raport z takiej analizy pokazuje przykładowy raport SZTOS z tabel krzyżowych, a opis całej ankiety – wpis opracowanie wyników ankiety.

Cała analiza w R

# Dane z ankiety (N = 90). Z surowych danych: tabela <- table(ankieta$kierunek, ankieta$korepetycje)
tabela <- matrix(c(12, 18,
                   18, 12,
                    6, 24), nrow = 3, byrow = TRUE,
                 dimnames = list(kierunek = c("ekonomia", "informatyka", "psychologia"),
                                 korepetycje = c("tak", "nie")))

# 1) opis: liczności z sumami i odsetki w wierszach (w obrębie kierunku)
addmargins(tabela)
round(100 * prop.table(tabela, margin = 1), 1)

# 2) test chi-kwadrat niezależności i liczności oczekiwane (założenie: E >= 5)
test <- chisq.test(tabela)
test
test$expected

# 3) reszty standaryzowane: |z| > 1,96, a z poprawką na 6 kratek |z| > 2,64
round(test$stdres, 2)

# 4) siła związku: V Cramera z 95% przedziałem ufności
effectsize::cramers_v(tabela, adjust = FALSE, alternative = "two.sided")

Wynik w konsoli R:

             korepetycje
kierunek      tak nie Sum
  ekonomia     12  18  30
  informatyka  18  12  30
  psychologia   6  24  30
  Sum          36  54  90
             korepetycje
kierunek      tak nie
  ekonomia     40  60
  informatyka  60  40
  psychologia  20  80

	Pearson's Chi-squared test

data:  tabela
X-squared = 10, df = 2, p-value = 0.006738

             korepetycje
kierunek      tak nie
  ekonomia     12  18
  informatyka  12  18
  psychologia  12  18
             korepetycje
kierunek        tak   nie
  ekonomia     0.00  0.00
  informatyka  2.74 -2.74
  psychologia -2.74  2.74
Cramer's V |       95% CI
-------------------------
0.33       | [0.10, 0.53]

Co zrobić, gdy liczności oczekiwane są za małe?

Gdy więcej niż 20% kratek ma E < 5 albo któraś ma E < 1, przybliżenie χ² przestaje być wiarygodne. Masz dwa wyjścia: dokładny test Fishera (w R fisher.test() działa także dla tabel większych niż 2×2) albo sensowne połączenie rzadkich kategorii, np. małych kierunków w „inne”. Na naszych danych test Fishera daje p = 0,007, czyli ten sam wniosek. W tabeli 2×2 siłę związku opisz współczynnikiem phi i napisz, czy stosujesz poprawkę Yatesa.

Pytania promotora i recenzenta

Czy mogę napisać, że kierunek wpływa na korzystanie z korepetycji?

Nie. Test chi-kwadrat wykrywa związek, a kierunku nikt nie przydzielał losowo. Różnicę mogą tłumaczyć inne czynniki, np. liczba przedmiotów ścisłych w programie studiów. Pisz: „korzystanie z korepetycji było związane z kierunkiem”.

Czy V = 0,33 to dużo?

Przy tabeli z dwiema kolumnami to umowny efekt średni. Dla większych tabel progi są niższe, dlatego zawsze podawaj wymiary tabeli – tabelę progów znajdziesz w haśle o V Cramera.