Współczynnik korelacji r Pearsona – wzór i przykład

Korelacja Pearsona mówi, na ile dwie zmienne ilościowe układają się wzdłuż prostej linii. Przykładowe pytanie z pracy dyplomowej: czy studenci, którzy uczą się dłużej, zdobywają więcej punktów z kolokwium?

Kiedy stosować korelację Pearsona?

• obie zmienne są ilościowe (godziny, punkty, wiek, wynik skali);
• związek jest w przybliżeniu liniowy – sprawdź to zawsze na wykresie rozrzutu;
• nie ma silnych obserwacji odstających, a do testu istotności rozkłady obu zmiennych są zbliżone do normalnego.

Gdy masz dane porządkowe (np. pojedyncze pytania na skali 1–5), obserwacje odstające albo związek tylko „rosnący”, a nie liniowy, wybierz korelację Spearmana lub tau Kendalla.

Wzór na współczynnik korelacji Pearsona

\(x_i,\ y_i\)

wyniki i-tej osoby w obu zmiennych (np. godziny nauki i punkty)

\(\bar{x},\ \bar{y}\)

średnie obu zmiennych

licznik

suma iloczynów odchyleń: jest duża i dodatnia, gdy wysokie x idą w parze z wysokim y

mianownik

„skaluje” wynik tak, żeby zawsze wypadł między −1 a 1

\(t,\ df\)

statystyka testu istotności korelacji i jej stopnie swobody

Przykład krok po kroku

Pięcioro studentów zapisało, ile godzin uczyło się do kolokwium (x) i ile punktów zdobyło (y). Średnio uczyli się 3 godziny i zdobyli 6 punktów.

1. Średnie. \(\bar{x} = 15/5 = 3\), \(\bar{y} = 30/5 = 6\).
2. Licznik. Suma iloczynów odchyleń: 4 + 4 + 0 + 0 + 8 = 16.
3. Mianownik. \(\sqrt{10 \cdot 40} = \sqrt{400} = 20\).
4. Korelacja. r = 16 / 20 = 0,80 – silny związek dodatni. r² = 0,64, czyli 64% zmienności punktów „idzie w parze” z liczbą godzin nauki.
5. Istotność. \(t = 0{,}8 \cdot \sqrt{3} / \sqrt{0{,}36} = 2{,}31\), df = 3, p = 0,104. Wynik nie jest istotny statystycznie.

Ostatni krok to ważna lekcja. Związek jest silny, ale pięć osób to za mało, żeby wykluczyć przypadek. Ta sama korelacja r = 0,80 u ośmiu osób dałaby już p = 0,017.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Według popularnej konwencji wartości |r| około 0,1 to związek słaby, 0,3 – umiarkowany, a 0,5 i więcej – silny (Cohen, 1988). Zawsze podawaj też przedział ufności. Tutaj wynosi on od −0,28 do 0,99, więc dane pasują zarówno do braku związku, jak i do związku bardzo silnego. Korelacja nie dowodzi też przyczynowości. Być może to zdolniejsze osoby i uczą się dłużej, i lepiej piszą kolokwium.

Jak policzyć korelację Pearsona w R?

godziny <- c(1, 2, 3, 4, 5)
punkty  <- c(4, 2, 8, 6, 10)

# 1) „ręcznie”, dokładnie według wzoru
dx <- godziny - mean(godziny)
dy <- punkty - mean(punkty)
sum(dx * dy) / sqrt(sum(dx^2) * sum(dy^2))   # 0.8

# 2) gotowymi funkcjami
cor(godziny, punkty)
cor.test(godziny, punkty)

Wynik w konsoli R:

	Pearson's product-moment correlation

data:  godziny and punkty
t = 2.3094, df = 3, p-value = 0.1041
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.2796400  0.9861962
sample estimates:
cor 
0.8 

Chcesz od razu przejść do regresji liniowej? Współczynnik nachylenia prostej to \(b = 16/10 = 1{,}6\) punktu na każdą dodatkową godzinę nauki.

Korelacja a regresja – czym się różnią?

Korelacja odpowiada na pytanie „jak silnie dwie zmienne idą w parze?” i traktuje je symetrycznie: r między godzinami a punktami jest takie samo jak między punktami a godzinami. Regresja odpowiada na pytanie „o ile średnio zmieni się y, gdy x wzrośnie o jednostkę?” i wyróżnia zmienną wyjaśnianą. W prostym modelu z jednym predyktorem oba podejścia są ze sobą powiązane: kwadrat korelacji to R² modelu regresji.

Najczęstsze błędy

• Liczenie r bez spojrzenia na wykres rozrzutu – identyczne r mogą opisywać zupełnie różne dane.
• Pisanie „brak związku”, gdy r ≈ 0. Poprawnie: „brak związku liniowego”.
• Wnioskowanie o przyczynie („nauka powoduje lepsze wyniki”) na podstawie samej korelacji.
• Liczenie Pearsona dla pojedynczych pytań na skali 1–5 zamiast Spearmana.
• Podawanie samego p bez wartości r i przedziału ufności.