Dwuczynnikowa ANOVA z powtarzanymi pomiarami (plan mieszany) – wzory i przykład

Dwuczynnikowa analiza wariancji dla prób zależnych w planie mieszanym łączy czynnik wewnątrzosobowy (te same osoby mierzone przed i po) z czynnikiem międzygrupowym (różne osoby w grupach). Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy wyniki testu wzrosły bardziej w grupie warsztatowej niż w kontrolnej?

Kiedy stosować ANOVA w planie mieszanym?

• jeden czynnik jest wewnątrzosobowy (np. pomiar przed/po), a drugi międzygrupowy (np. grupa kontrolna i eksperymentalna);
• zmienna zależna jest ilościowa (punkty, czas, wynik skali);
• reszty mają rozkład zbliżony do normalnego, a wariancje grup są podobne;
• przy trzech i więcej pomiarach – sferyczność (test Mauchly’ego), a przy jej naruszeniu poprawka Greenhouse’a-Geissera.

Gdy oba czynniki są wewnątrzosobowe, każdy efekt ma własny błąd (efekt × osoby). Przy jednym czynniku powtarzanym wystarczy jednoczynnikowa ANOVA z powtarzanymi pomiarami, a przy dwóch czynnikach międzygrupowych – dwuczynnikowa ANOVA dla prób niezależnych.

Wzory ANOVA w planie mieszanym

\(G,\ P\)

czynnik międzygrupowy (grupa) i czynnik wewnątrzosobowy (pomiar)

\(S(G)\)

osoby w grupach: stałe różnice między ludźmi (błąd dla grupy)

\(P\times S(G)\)

różne zmiany u osób z tej samej grupy (błąd dla pomiaru i interakcji)

\(g,\ p,\ N\)

liczba grup, liczba pomiarów i liczba osób

\(\bar{y}_k,\ \bar{y}_{g(k)}\)

średnia osoby k ze wszystkich pomiarów i średnia jej grupy

\(\eta^2_G\)

uogólnione eta kwadrat – miara efektu zalecana przy pomiarach powtarzanych (Bakeman, 2005)

Przykład krok po kroku

Sześcioro studentów napisało test wiedzy przed zajęciami i po nich: troje w grupie kontrolnej, troje na warsztatach z technik uczenia się (g = 2, p = 2, N = 6).

1. Średnie. Ogólna 72 / 12 = 6; pomiary i grupy: 4,5 i 7,5; komórki: kontrolna 4 → 5, warsztat 5 → 10.
2. Między osobami. SS_G = 6 · [(4,5 − 6)² + (7,5 − 6)²] = 27. SS_S(G) = 2 · [(3 − 4,5)² + 0 + (6 − 4,5)² + (6 − 7,5)² + 0 + (9 − 7,5)²] = 18, a MS = 18 / 4 = 4,5. F_G = 27 / 4,5 = 6,00; p = 0,070.
3. Wewnątrz osób. SS_P = 27. Efekty interakcji w komórkach wynoszą ±1 (np. 4 − 4,5 − 4,5 + 6 = 1), więc SS_P×G = 3 · 4 = 12.
4. Błąd wewnątrz osób. Przyrosty odchylają się od średniej grupy o −1, 0 i 1 (suma kwadratów 2 + 2 = 4). Przy dwóch pomiarach dzielimy ją przez 2: SS_P×S(G) = 2, a MS = 2 / 4 = 0,5. Kontrola: 27 + 18 + 27 + 12 + 2 = 86 = Σ(y − 6)².
5. Pomiar i interakcja (df = 1 i 4). F_P = 27 / 0,5 = 54; p = 0,002. F_P×G = 12 / 0,5 = 24; p = 0,008.
6. Sferyczność i wielkość efektu. Przy dwóch pomiarach sferyczność jest spełniona z definicji (ε = 1). η²_G = 27 / (27 + 18 + 2) = 0,57 dla grupy i pomiaru oraz 12 / 32 = 0,38 dla interakcji.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Najważniejsza jest interakcja: na warsztatach wyniki wzrosły o 5 punktów, a w grupie kontrolnej o 1. Gdyby w populacji przyrosty w obu grupach były równe, tak dużą lub większą różnicę przyrostów otrzymalibyśmy w mniej niż 1% podobnych badań (p = 0,008). Efekt grupy (p = 0,070) dotyczy średniej z obu pomiarów, więc mało mówi o skuteczności warsztatów. Sześć osób to tylko ilustracja rachunku.

Jak policzyć ANOVA w planie mieszanym w R?

dane <- data.frame(
  osoba  = factor(rep(1:6, times = 2)),
  grupa  = factor(rep(rep(c("Kontrolna", "Warsztat"), each = 3), times = 2)),
  pomiar = factor(rep(c("przed", "po"), each = 6), levels = c("przed", "po")),
  punkty = c(3, 4, 5, 4, 5, 6,       # przed
             3, 5, 7, 8, 10, 12))    # po

# 1) klasycznie: osobny człon błędu dla różnic między osobami i dla zmian wewnątrz osób
summary(aov(punkty ~ grupa * pomiar + Error(osoba / pomiar), data = dane))

# 2) pakiet afex: uogólnione eta kwadrat; przy 2 pomiarach poprawka GG niczego nie zmienia
afex::aov_ez(id = "osoba", dv = "punkty", data = dane, between = "grupa",
             within = "pomiar", anova_table = list(es = "ges", correction = "GG"))

# 3) sprawdzenie: interakcja to test t dla przyrostów (t² = F)
przyrost <- c(3, 5, 7, 8, 10, 12) - c(3, 4, 5, 4, 5, 6)
unname(t.test(przyrost[4:6], przyrost[1:3], var.equal = TRUE)$statistic^2)

Wynik w konsoli R:

Error: osoba
          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
grupa      1     27    27.0       6 0.0705 .
Residuals  4     18     4.5                 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Error: osoba:pomiar
             Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
pomiar        1     27    27.0      54 0.00183 **
grupa:pomiar  1     12    12.0      24 0.00805 **
Residuals     4      2     0.5                   
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Anova Table (Type 3 tests)

Response: punkty
        Effect   df  MSE        F  ges p.value
1        grupa 1, 4 4.50   6.00 + .574    .070
2       pomiar 1, 4 0.50 54.00 ** .574    .002
3 grupa:pomiar 1, 4 0.50 24.00 ** .375    .008
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘+’ 0.1 ‘ ’ 1
[1] 24

Przy trzech i więcej pomiarach correction = "GG" poda stopnie swobody po poprawce. Ostatnia linia pokazuje, że przy dwóch pomiarach F interakcji to kwadrat t z testu porównującego przyrosty (4,90² = 24).

ANOVA mieszana czy ANCOVA z pretestem?

W badaniu „przed i po z grupą kontrolną” możesz też użyć analizy kowariancji: wynik „po” to zmienna zależna, a „przed” – kowariant. Przy losowym przydziale do grup ANCOVA zwykle ma większą moc (Vickers i Altman, 2001). Bez losowania, gdy grupy różniły się na starcie, obie metody mogą dać różne odpowiedzi.

Najczęstsze błędy

• Analizowanie pomiarów przed i po jak dwóch niezależnych grup.
• Mylenie planu mieszanego z planem, w którym oba czynniki są wewnątrzosobowe – mają inne człony błędu.
• Mieszanie w jednym raporcie wyników z poprawką Greenhouse’a-Geissera i bez niej.
• Wniosek o skuteczności interwencji na podstawie samego efektu pomiaru, bez interakcji z grupą.