Eta kwadrat (η²) – wzór, interpretacja i przykład

Eta kwadrat (η²) to miara wielkości efektu w analizie wariancji. Mówi, jaką część zmienności wyników wyjaśnia podział na grupy. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy różnica między grupami ćwiczeniowymi jest nie tylko istotna statystycznie, ale też duża?

Kiedy stosować eta kwadrat?

• raportujesz wynik analizy wariancji – jednoczynnikowej, wieloczynnikowej albo z powtarzanymi pomiarami;
• chcesz porównać siłę efektu z innymi badaniami albo zaplanować wielkość próby;
• promotor lub recenzent prosi o wielkość efektu obok wartości p.

Przy dwóch grupach częściej podaje się d Cohena, a przy tabelach krzyżowych – V Cramera.

Wzór na eta kwadrat (i jego krewnych)

\(SS_{efekt}\)

suma kwadratów badanego efektu; w ANOVA jednoczynnikowej to \(SS_B\), czyli zmienność między grupami

\(SS_T\)

całkowita suma kwadratów – cała zmienność wyników

\(SS_{błąd}\)

zmienność, której model nie wyjaśnia (w ANOVA jednoczynnikowej \(SS_W\))

\(\eta^2_p\)

cząstkowe eta kwadrat – w mianowniku pomija inne efekty z modelu

\(\omega^2\)

omega kwadrat – ostrożniejsze oszacowanie efektu w populacji

\(df_B,\ MS_W\)

stopnie swobody efektu (k − 1) i średni kwadrat wewnątrz grup

Przykład krok po kroku

Wracamy do trzech grup ćwiczeniowych z hasła o jednoczynnikowej ANOVA. Grupa A: 1, 3, 5. Grupa B: 2, 4, 6. Grupa C: 7, 8, 9 punktów. Sumy kwadratów są już policzone w tabeli ANOVA.

1. Eta kwadrat. η² = 42 / 60 = 0,70.
2. Cząstkowe eta kwadrat. η²_p = 42 / (42 + 18) = 0,70. W ANOVA jednoczynnikowej oba wzory dają to samo, bo jedynym „innym” źródłem zmienności jest błąd.
3. Omega kwadrat. ω² = (42 − 2 · 3) / (60 + 3) = 36 / 63 = 0,57. Licznik jest mniejszy, bo odejmujemy różnice, jakie dałby sam przypadek.
4. Gdzie η² i η²_p się rozchodzą? W ANOVA z powtarzanymi pomiarami (4 osoby, 3 pomiary) efekt pomiaru ma SS = 32, różnice między osobami 30, a błąd 12. Zwykłe η² = 32 / 74 = 0,43, a cząstkowe η²_p = 32 / (32 + 12) = 0,73 – bo pomija różnice między osobami.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Popularne progi dla η² to 0,01 – efekt mały, 0,06 – średni i 0,14 – duży (Cohen, 1988). Nasze 0,70 to efekt bardzo duży: przynależność do grupy wyjaśnia 70% zmienności punktów. „Wyjaśnia” nie znaczy jednak „powoduje” – to opis podziału zmienności, a nie dowód przyczyny. Przy małych próbach η² zawyża efekt w populacji, dlatego warto podać też ω². Tutaj ω² = 0,57 to nadal efekt bardzo duży, ale przy trzech osobach w grupie oba oszacowania są bardzo niepewne. Progi Cohena dotyczą zwykłego η². Do cząstkowego η² z planów złożonych stosuj je ostrożnie.

Jak policzyć eta kwadrat w R?

punkty <- c(1, 3, 5,  2, 4, 6,  7, 8, 9)
grupa  <- factor(rep(c("A", "B", "C"), each = 3))
model  <- aov(punkty ~ grupa)

# 1) „ręcznie” z sum kwadratów w tabeli ANOVA
SS  <- summary(model)[[1]][["Sum Sq"]]               # 42 i 18
SSB <- SS[1]; SSW <- SS[2]; MSW <- SSW / 6
c(eta2 = SSB / (SSB + SSW), omega2 = (SSB - 2 * MSW) / (SSB + SSW + MSW))

# 2) gotowymi funkcjami z pakietu effectsize
effectsize::eta_squared(model, partial = FALSE, ci = NULL)
effectsize::omega_squared(model, ci = NULL)

# 3) pomiary powtarzane (4 osoby x 3 pomiary): cząstkowe vs uogólnione η²
d <- data.frame(osoba = rep(1:4, 3), pomiar = rep(c("przed", "po", "miesiac"), each = 4),
                wynik = c(1, 2, 3, 6,  2, 3, 8, 7,  6, 7, 7, 8))
afex::aov_ez("osoba", "wynik", d, within = "pomiar",
             anova_table = list(correction = "none", es = c("pes", "ges")))

Wynik w konsoli R:

     eta2    omega2 
0.7000000 0.5714286 
# Effect Size for ANOVA (Type I)

Parameter | Eta2
----------------
grupa     | 0.70
# Effect Size for ANOVA

Parameter | Omega2
------------------
grupa     |   0.57
Anova Table (Type 3 tests)

Response: wynik
  Effect   df  MSE      F  ges  pes p.value
1 pomiar 2, 6 2.00 8.00 * .432 .727    .020
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘+’ 0.1 ‘ ’ 1

W ostatniej tabeli ges to uogólnione η²_G, a pes – cząstkowe η²_p.

Eta kwadrat czy cząstkowe eta kwadrat – co raportować?

W ANOVA jednoczynnikowej dla grup niezależnych nie ma różnicy. W planach z kilkoma czynnikami albo z powtarzanymi pomiarami SPSS (opcja „Oszacowania wielkości efektu”) podaje cząstkowe η²_p. Ono pomija w mianowniku pozostałe źródła zmienności, więc bywa dużo większe. Zawsze pisz wprost, którą miarę podajesz. Jeśli chcesz porównywać efekty między różnymi planami badań, podaj uogólnione η²_G (Olejnik i Algina, 2003; Lakens, 2013).

Najczęstsze błędy

• Podpisywanie cząstkowego η²_p z SPSS jako zwykłego η².
• Sumowanie cząstkowych η² kilku efektów – suma może przekroczyć 1.
• Pisanie, że η²_p jest „bardziej konserwatywne” – jest odwrotnie, bo nigdy nie jest mniejsze niż η².
• Język przyczynowy: „70% wyników wynika z grupy” zamiast „jest wyjaśniane przez grupę”.
• Podawanie η² bez F, stopni swobody i p.