Analiza wariancji z powtarzanymi pomiarami (ANOVA RM) – wzór i przykład

ANOVA z powtarzanymi pomiarami sprawdza, czy średni wynik tych samych osób zmienia się między trzema lub więcej pomiarami. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy samoocena wiedzy studentów zmienia się od pomiaru przed warsztatami, przez pomiar tuż po nich, do pomiaru miesiąc później?

Kiedy stosować ANOVA z powtarzanymi pomiarami?

• te same osoby zmierzono trzy lub więcej razy (albo każda osoba przeszła wszystkie warunki eksperymentu);
• zmienna zależna jest ilościowa, a jej rozkłady w pomiarach są zbliżone do normalnego;
• spełniona jest sferyczność: różnice między każdą parą pomiarów mają podobną wariancję – jeśli nie, stosujesz poprawkę Greenhouse’a-Geissera.

Przy dwóch pomiarach wynik jest identyczny jak w teście t dla prób zależnych (F = t²). Gdy dane są porządkowe albo mocno skośne, użyj testu Friedmana.

Wzór na F w ANOVA z powtarzanymi pomiarami

\(n,\ k\)

liczba osób i liczba pomiarów

\(\bar{x}_j\)

średnia w j-tym pomiarze (np. „po warsztatach”)

\(\bar{x}_i\)

średnia i-tej osoby ze wszystkich jej pomiarów

\(\bar{x}\)

średnia ogólna wszystkich wyników

\(SS_{całk}\)

suma kwadratów odchyleń wszystkich wyników od średniej ogólnej

\(SS_{pom},\ SS_{os}\)

zmienność między pomiarami (efekt) i między osobami (usuwana z błędu)

\(SS_{błąd}\)

reszta: na ile osoby zmieniają się w różny sposób

Przykład krok po kroku

Czworo studentów oceniło swoją wiedzę ze statystyki (skala 1–10) przed warsztatami, zaraz po nich i miesiąc później.

1. Zmienność całkowita. \(SS_{całk} = 26 + 17 + 17 + 14 = 74\).
2. Efekt pomiaru. \(SS_{pom} = 4 \cdot [(3 - 5)^2 + (5 - 5)^2 + (7 - 5)^2] = 4 \cdot 8 = 32\).
3. Różnice między osobami. \(SS_{os} = 3 \cdot [(3 - 5)^2 + (4 - 5)^2 + (6 - 5)^2 + (7 - 5)^2] = 3 \cdot 10 = 30\).
4. Błąd. \(SS_{błąd} = 74 - 32 - 30 = 12\).
5. Statystyka F. df = 2 i (3 − 1)(4 − 1) = 6. F = (32 / 2) / (12 / 6) = 16 / 2 = 8,00; p = 0,020.
6. Sferyczność. Wariancje różnic między pomiarami wynoszą 4, 2 i 6. Test Mauchly’ego: W = 0,67; p = 0,667. Poprawka Greenhouse’a-Geissera: ε = 0,75, czyli df = 1,5 i 4,5; p = 0,036.
7. Wielkość efektu i post hoc. Uogólnione eta kwadrat: η²_G = 32 / 74 = 0,43. Testy t dla prób zależnych z poprawką Bonferroniego: istotna jest tylko różnica „przed – miesiąc później” (p = 0,033).

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Średnia samoocena rosła z 3 przed warsztatami do 5 tuż po nich i 7 miesiąc później. Gdyby w populacji średnie we wszystkich pomiarach były równe, F co najmniej 8 otrzymalibyśmy w około 2% takich badań. η²_G = 0,43 to według progów Cohena (1988) efekt duży; uogólnione η² pozwala porównywać efekty między różnymi planami badań (Bakeman, 2005). Brak grupy kontrolnej nie pozwala jednak stwierdzić, że wzrost wywołały same warsztaty – mógł to być np. efekt nauki do sesji.

Jak policzyć ANOVA z powtarzanymi pomiarami w R?

# 4 osoby x 3 pomiary samooceny wiedzy (1–10): przed, po, miesiąc później
wyniki <- rbind(c(1, 2, 6), c(2, 3, 7), c(3, 8, 7), c(6, 7, 8))
n <- 4; k <- 3; M <- mean(wyniki)

# 1) „ręcznie”: podział sum kwadratów i F
SS_pom <- n * sum((colMeans(wyniki) - M)^2)           # 32
SS_os  <- k * sum((rowMeans(wyniki) - M)^2)           # 30
SS_bl  <- sum((wyniki - M)^2) - SS_pom - SS_os        # 12
F <- (SS_pom / (k - 1)) / (SS_bl / ((k - 1) * (n - 1)))
c(F = F, p = pf(F, k - 1, (k - 1) * (n - 1), lower.tail = FALSE))

# 2) gotową funkcją: test Mauchly'ego i poprawka Greenhouse'a-Geissera
d <- data.frame(osoba = rep(1:4, 3), wynik = c(wyniki),
                pomiar = rep(c("przed", "po", "miesiac"), each = 4))
model <- afex::aov_ez("osoba", "wynik", d, within = "pomiar")
summary(model)$sphericity.tests                     # test Mauchly'ego
model                                                 # F z poprawką G-G i eta² uogólnione

Wynik w konsoli R:

        F         p 
8.0000000 0.0202855 
       Test statistic p-value
pomiar        0.66667 0.66667
Anova Table (Type 3 tests)

Response: wynik
  Effect         df  MSE      F  ges p.value
1 pomiar 1.50, 4.50 2.67 8.00 * .432    .036
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘+’ 0.1 ‘ ’ 1

Sphericity correction method: GG 

Pakiet afex domyślnie stosuje poprawkę Greenhouse’a-Geissera: df = 1.50 i 4.50 to 2 · 0,75 i 6 · 0,75, a ges to uogólnione η²_G.

Co to jest sferyczność i co zrobić, gdy jej brakuje?

Sferyczność oznacza, że różnice między każdą parą pomiarów mają podobną wariancję. Gdy jest naruszona, zwykłe p jest zaniżone. Test Mauchly’ego przy kilku osobach ma bardzo małą moc: u nas p = 0,667, choć wariancje różnic (4, 2 i 6) wyraźnie się różnią. Dlatego wielu metodologów zaleca, by zawsze patrzeć na ε. Poprawka Greenhouse’a-Geissera mnoży oba df przez ε i daje ostrożniejsze p. Przy dwóch pomiarach sferyczność jest zawsze spełniona.

Najczęstsze błędy

• ANOVA dla grup niezależnych na danych od tych samych osób – tutaj p = 0,078 zamiast 0,020.
• Pominięcie sferyczności albo poprawki przy trzech i więcej pomiarach.
• Porównania par testem Tukeya dla grup niezależnych zamiast testów t dla prób zależnych z korektą.
• Ciche usuwanie osób z brakującym pomiarem – opisz to albo użyj modelu mieszanego.
• Pisanie „przyjęto H0”, gdy p > 0,05, zamiast „brak podstaw do odrzucenia H0”.