Analiza kowariancji (ANCOVA) – wzory, założenia i przykład

Analiza kowariancji (ANCOVA) porównuje średnie grup po uwzględnieniu zmiennej ilościowej, która też wiąże się z wynikiem – najczęściej wyniku sprzed badania (pretestu). Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy grupa warsztatowa ma lepszy wynik po zajęciach niż kontrolna, jeśli weźmiemy pod uwagę, ile każdy umiał na starcie?

Kiedy stosować ANCOVA?

• porównujesz grupy pod względem zmiennej ilościowej i masz zmienną towarzyszącą (kowariant), np. pretest, wiek, liczbę godzin nauki;
• kowariant zmierzono przed interwencją, więc grupa nie mogła na niego wpłynąć;
• związek kowariantu z wynikiem jest liniowy;
• nachylenie tego związku jest takie samo w każdej grupie – to jednorodność nachyleń (brak interakcji grupa × kowariant);
• reszty mają rozkład zbliżony do normalnego i podobne wariancje w grupach.

Bez kowariantu wystarczy jednoczynnikowa ANOVA. Dla danych „przed i po” alternatywą jest ANOVA w planie mieszanym. Technicznie ANCOVA to regresja liniowa z predyktorem ilościowym i jakościowym.

Wzory ANCOVA

\(y_{ij},\ x_{ij}\)

wynik końcowy i wartość kowariantu (pretestu) osoby i z grupy j

\(\bar{y}_j,\ \bar{x}_j,\ \bar{x}\)

średnie grupy j (wynik i pretest) oraz średni pretest wszystkich osób

\(b_w\)

wspólne nachylenie wewnątrzgrupowe: o ile rośnie wynik, gdy pretest rośnie o 1, w obrębie grupy

\(\bar{y}'_j\)

średnia skorygowana grupy j – przewidywany wynik przy średnim preteście

\(SS_E,\ MS_E\)

suma kwadratów i średni kwadrat reszt po uwzględnieniu grupy i kowariantu

\(k,\ N,\ n_j\)

liczba grup, liczba wszystkich osób i liczba osób w grupie j; df błędu = N − k − 1

Przykład krok po kroku

Sześcioro studentów napisało test przed zajęciami (pretest) i po nich (posttest). Troje było w grupie kontrolnej, troje na warsztatach. Grupa warsztatowa miała wyższy pretest.

1. Średnie. Kontrolna: pretest 2, posttest 3. Warsztat: pretest 3, posttest 6. Surowa różnica: 3 punkty. Średni pretest wszystkich: 15 / 6 = 2,5.
2. Nachylenie. b_w = 2 / 4 = 0,5. W każdej grupie osobno też wychodzi 1 / 2 = 0,5, więc nachylenia są identyczne – jednorodność nachyleń jest spełniona idealnie.
3. Średnie skorygowane. Kontrolna: 3 − 0,5 · (2 − 2,5) = 3,25. Warsztat: 6 − 0,5 · (3 − 2,5) = 5,75. Różnica skorygowana: 2,5 punktu.
4. Błąd. Reszty od prostej każdej grupy wynoszą −0,5; 1 i −0,5, więc SS_E = 2 · (0,25 + 1 + 0,25) = 3; df = 6 − 2 − 1 = 3; MS_E = 1.
5. Test. Mianownik: 1 · (1/3 + 1/3 + 1²/4) = 11/12. F = 2,5² / (11/12) = 6,82; df = 1 i 3; p = 0,080. Przy MS_E = 1 suma kwadratów grupy też wynosi 6,82, więc η²_p = SS_grupa / (SS_grupa + SS_E) = 6,82 / (6,82 + 3) = 0,69.
6. Porównanie. Bez pretestu (zwykła ANOVA) różnica 3 punktów daje F(1, 4) = 13,5 i p = 0,021. Po korekcie efekt jest mniejszy i nieistotny.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Surowa przewaga warsztatu wynosiła 3 punkty, ale część z niej wynikała z wyższego pretestu. Przy jednakowym preteście różnica spada do 2,5 punktu i nie jest istotna (p = 0,080). To nie dowód, że warsztaty nie działają – przy trzech osobach w grupie test ma bardzo małą moc.

Jak policzyć ANCOVA w R?

grupa    <- factor(rep(c("Kontrolna", "Warsztat"), each = 3))
pretest  <- c(1, 2, 3, 2, 3, 4)
posttest <- c(2, 4, 3, 5, 7, 6)

# 1) założenie: jednorodność nachyleń (interakcja grupa × pretest powinna być nieistotna)
round(anova(lm(posttest ~ pretest * grupa))["pretest:grupa", c("F value", "Pr(>F)")], 3)

# 2) ANCOVA: car::Anova() z typem III (albo aov z kowariantem PRZED czynnikiem)
model <- lm(posttest ~ pretest + grupa)
car::Anova(model, type = 3)
emmeans::emmeans(model, ~ grupa)          # średnie skorygowane (przy pretest = 2,5)

# 3) pułapka: w aov() czynnik wpisany PRZED kowariantem nie jest skorygowany (typ I)
summary(aov(posttest ~ grupa + pretest))

Wynik w konsoli R:

              F value Pr(>F)
pretest:grupa       0      1
Anova Table (Type III tests)

Response: posttest
            Sum Sq Df F value Pr(>F)  
(Intercept) 3.0000  1  3.0000 0.1817  
pretest     1.0000  1  1.0000 0.3910  
grupa       6.8182  1  6.8182 0.0796 .
Residuals   3.0000  3                 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
 grupa     emmean    SE df lower.CL upper.CL
 Kontrolna   3.25 0.629  3     1.25     5.25
 Warsztat    5.75 0.629  3     3.75     7.75

Confidence level used: 0.95 
            Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
grupa        1   13.5    13.5    13.5 0.0349 *
pretest      1    1.0     1.0     1.0 0.3910  
Residuals    3    3.0     1.0                 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Zwróć uwagę na ostatnią tabelę: aov(posttest ~ grupa + pretest) liczy sumy kwadratów typu I, czyli po kolei. Grupa wpisana jako pierwsza nie jest skorygowana o pretest, więc dostajesz F = 13,5 i p = 0,035 zamiast poprawnego F = 6,82 i p = 0,080. Wpisz kowariant przed czynnikiem albo użyj car::Anova().

Czy ANCOVA zastąpi losowy przydział do grup?

Nie. Gdy grupy powstały bez losowania (np. dwa różne roczniki), ANCOVA nie „wyrówna” ich w pełni. Koryguje tylko o zmierzony kowariant i tylko liniowo. Gdy grupy w ogóle nie nakładają się pod względem kowariantu, średnie skorygowane są zgadywaniem poza zakresem danych (Miller i Chapman, 2001). ANCOVA najlepiej sprawdza się w eksperymencie z losowym przydziałem, gdzie zmniejsza błąd i zwiększa moc testu.

Najczęstsze błędy

• Wpisanie w aov() czynnika przed kowariantem – efekt grupy nie jest wtedy skorygowany.
• Brak sprawdzenia jednorodności nachyleń (interakcji grupa × kowariant).
• Kowariant zmierzony po interwencji, więc sam mógł się zmienić pod jej wpływem.
• Traktowanie ANCOVA jako „naprawy” braku losowego przydziału do grup.
• Raportowanie średnich surowych zamiast skorygowanych.