Dwuczynnikowa analiza wariancji (ANOVA) dla prób niezależnych – wzory i przykład

Dwuczynnikowa ANOVA sprawdza jednocześnie wpływ dwóch czynników na średnie wyniki oraz to, czy czynniki te współdziałają (interakcja). Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy nauka z quizów daje więcej punktów niż nauka z notatek i czy ta przewaga zależy od długości snu przed kolokwium?

Kiedy stosować dwuczynnikową ANOVA?

• masz dwa czynniki jakościowe, a każda osoba trafia do jednej kombinacji ich poziomów;
• zmienna zależna jest ilościowa (punkty, czas, wynik skali);
• osoby w komórkach są różne i niezależne;
• reszty mają rozkład zbliżony do normalnego, a wariancje w komórkach są podobne (sprawdzisz to testem Levene’a).

Przy jednym czynniku wystarczy jednoczynnikowa ANOVA. Gdy te same osoby mierzysz kilka razy, potrzebujesz dwuczynnikowej ANOVA z powtarzanymi pomiarami. Kontrolę zmiennej ilościowej, np. pretestu, zapewnia analiza kowariancji.

Wzory dwuczynnikowej ANOVA

\(a,\ b,\ n\)

liczba poziomów czynnika A, liczba poziomów czynnika B i liczba osób w każdej komórce

\(\bar{y}\)

średnia ogólna wszystkich wyników

\(\bar{y}_{i\cdot},\ \bar{y}_{\cdot j}\)

średnie poziomów A (np. metod) i poziomów B (np. długości snu)

\(\bar{y}_{ij}\)

średnia w komórce, czyli w kombinacji poziomu i czynnika A z poziomem j czynnika B

\(SS_E\)

suma kwadratów błędu: odchylenia wyników od średniej ich własnej komórki

\(F,\ df\)

statystyka testu dla danego efektu i jej stopnie swobody

\(\eta^2_p\)

cząstkowe eta kwadrat, czyli wielkość efektu

Przykład krok po kroku

Dwunastu studentów losowo przydzielono do nauki z notatek albo z quizów. W każdej grupie połowa spała przed kolokwium krótko, a połowa długo, więc każda komórka ma 3 osoby (a = 2, b = 2, n = 3).

1. Średnie. Ogólna: 72 / 12 = 6. Metody: Notatki 4, Quizy 8. Sen: krótki 4, długi 8.
2. Efekty główne. Na każdy poziom metody przypada b · n = 6 osób, więc SS_A = 6 · [(4 − 6)² + (8 − 6)²] = 48. Tak samo SS_B = 48.
3. Interakcja. SS_AB = 3 · (1 + 1 + 1 + 1) = 12.
4. Błąd. SS_E = 2 + 2 + 2 + 2 = 8; df_E = 4 · (3 − 1) = 8; MS_E = 8 / 8 = 1. Kontrola: Σ(y − 6)² = 116 = 48 + 48 + 12 + 8.
5. Statystyki F (df = 1 i 8). F_A = 48 / 1 = 48; F_B = 48; F_AB = 12 / 1 = 12. Wartości p: < 0,001; < 0,001 i 0,009.
6. Wielkość efektu. η²_p = 48 / (48 + 8) = 0,86 dla metody i snu oraz 12 / (12 + 8) = 0,60 dla interakcji.
7. Efekty proste. Po krótkim śnie quizy dają 2 punkty więcej (p = 0,040), a po długim – 6 punktów więcej (p < 0,001).

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Wszystkie trzy efekty są istotne. Przy istotnej interakcji efekty główne opisz ostrożnie: quizy dają przewagę przy obu długościach snu, ale po krótkim śnie o 2 punkty, a po długim aż o 6. Duże η²_p wynikają z małego rozrzutu w komórkach, a trzy osoby w komórce to tylko ilustracja rachunku.

Jak policzyć dwuczynnikową ANOVA w R?

punkty <- c(2, 3, 4,  4, 5, 6,  4, 5, 6,  10, 11, 12)
metoda <- factor(rep(c("Notatki", "Quizy"), each = 6))
sen    <- factor(rep(rep(c("krótki", "długi"), each = 3), 2), levels = c("krótki", "długi"))

# 1) „ręcznie”: sumy kwadratów ze średnich
M   <- mean(punkty)
mA  <- tapply(punkty, metoda, mean); mB <- tapply(punkty, sen, mean)
mAB <- tapply(punkty, list(metoda, sen), mean)
SS_A  <- 6 * sum((mA - M)^2)                           # 48
SS_B  <- 6 * sum((mB - M)^2)                           # 48
SS_AB <- 3 * sum((mAB - outer(mA, mB, "+") + M)^2)     # 12
SS_E  <- sum((punkty - ave(punkty, metoda, sen))^2)    # 8
c(F_A = SS_A, F_B = SS_B, F_AB = SS_AB) / (SS_E / 8)

# 2) gotową funkcją + cząstkowe eta kwadrat
model <- aov(punkty ~ metoda * sen)
summary(model)
effectsize::eta_squared(model, partial = TRUE)

Wynik w konsoli R:

 F_A  F_B F_AB 
  48   48   12 
            Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
metoda       1     48      48      48 0.000121 ***
sen          1     48      48      48 0.000121 ***
metoda:sen   1     12      12      12 0.008516 ** 
Residuals    8      8       1                     
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
# Effect Size for ANOVA (Type I)

Parameter  | Eta2 (partial) |       95% CI
------------------------------------------
metoda     |           0.86 | [0.61, 1.00]
sen        |           0.86 | [0.61, 1.00]
metoda:sen |           0.60 | [0.16, 1.00]

- One-sided CIs: upper bound fixed at [1.00].

Przy równych liczebnościach komórek typy sum kwadratów I, II i III dają ten sam wynik. Przy nierównych liczebnościach aov() liczy typ I, zależny od kolejności czynników. Użyj wtedy car::Anova() z typem II albo z typem III i kontrastami contr.sum.

Co zrobić, gdy interakcja jest istotna?

Istotna interakcja znaczy, że na pytanie „czy quizy pomagają?” odpowiedź brzmi „to zależy od snu”. Zrób wtedy analizę efektów prostych: porównaj metody osobno przy każdym poziomie snu (np. emmeans(model, pairwise ~ metoda | sen)), z korektą na wielokrotne porównania przy wielu parach (test Tukeya). Efekt główny opisuj tylko jako średnią z obu poziomów drugiego czynnika.

Najczęstsze błędy

• Stosowanie dwuczynnikowej ANOVA do czterech grup, które nie tworzą układu dwóch skrzyżowanych czynników.
• Opisywanie samych efektów głównych przy istotnej interakcji.
• Liczenie aov() przy nierównych komórkach bez świadomości, że wynik zależy od kolejności czynników.
• Pisanie, że „rozkładają się wariancje” – rozkładają się sumy kwadratów.
• Brak wykresu interakcji i η²_p w opisie wyników.