Korelacja tau Kendalla – wzór i przykład

Tau Kendalla (τ) to rangowa miara związku, która porównuje każdą parę osób i sprawdza, czy ich kolejność w obu zmiennych się zgadza. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy w małej grupie studentów wyższa ocena zajęć (skala 1–5) idzie w parze z wyższą oceną z egzaminu?

Kiedy stosować tau Kendalla?

• obie zmienne są co najmniej porządkowe (oceny, miejsca w rankingu, pojedyncze pytania ankiety);
• próba jest mała albo w danych jest dużo remisów (np. wiele osób z tą samą oceną 4);
• szukasz związku monotonicznego, a nie koniecznie liniowego.

Tau mierzy to samo co korelacja rang Spearmana, ale inną drogą – przez pary zamiast różnic rang. Gdy obie zmienne są ilościowe, a związek liniowy, wystarczy korelacja Pearsona. Przegląd innych metod rangowych znajdziesz w artykule o testach nieparametrycznych.

Wzór na tau Kendalla

\(C\)

liczba par zgodnych: osoba z wyższym x ma też wyższe y

\(D\)

liczba par niezgodnych: osoba z wyższym x ma niższe y

\(n\)

liczba osób; \(n_0 = n(n-1)/2\) to liczba wszystkich par

\(n_1,\ n_2\)

liczba par z remisem w x i liczba par z remisem w y

\(\tau_a,\ \tau_b\)

dwie wersje tau: bez remisów są identyczne; przy remisach raportuj \(\tau_b\), bo \(\tau_a\) nie może wtedy osiągnąć 1

Przykład krok po kroku

Te same dane co w hasłach o korelacji Pearsona i Spearmana: godziny nauki x = 1, 2, 3, 4, 5 i punkty y = 4, 2, 8, 6, 10. Osoby są ułożone według godzin, więc w każdej parze druga osoba uczyła się dłużej. Wystarczy sprawdzić, czy jej punkty rosną.

1. Liczba par. n(n − 1)/2 = 5 · 4 / 2 = 10.
2. Pary zgodne i niezgodne. Punkty spadają tylko w parach 1–2 (4 → 2) i 3–4 (8 → 6), więc D = 2 i C = 8.
3. Tau. τ = (8 − 2) / 10 = 0,60. Remisów nie ma, więc \(\tau_a = \tau_b\).
4. Istotność. Dla n = 5 program liczy dokładne p = 0,233 – wynik nieistotny.
5. Remisy. Gdyby osoby 3 i 4 miały po 6 punktów, para 3–4 byłaby remisem: C = 8, D = 1. Wtedy \(\tau_a = 7/10 = 0{,}70\), ale \(\tau_b = 7/\sqrt{10 \cdot 9} = 0{,}74\).

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Tau ma prostą interpretację: to różnica między odsetkiem par zgodnych i niezgodnych. Tutaj 80% par jest zgodnych, a 20% niezgodnych, więc τ = 0,80 − 0,20 = 0,60. Dla tych samych danych tau jest zwykle niższe niż rho Spearmana, dlatego nie oceniaj go progami przygotowanymi dla r. Wartość p = 0,233 oznacza brak podstaw do odrzucenia H0. To nie dowód braku związku – pięć osób daje bardzo małą moc testu.

Jak policzyć tau Kendalla w R?

godziny <- c(1, 2, 3, 4, 5)
punkty  <- c(4, 2, 8, 6, 10)

# 1) „ręcznie”: w każdej parze osób sprawdzamy, czy x i y zmieniają się w tę samą stronę
zx <- sign(outer(godziny, godziny, "-"))
zy <- sign(outer(punkty, punkty, "-"))
iloczyn <- (zx * zy)[upper.tri(zx)]          # 1 = para zgodna, -1 = niezgodna, 0 = remis
C <- sum(iloczyn == 1); D <- sum(iloczyn == -1)
c(C = C, D = D, tau = (C - D) / choose(5, 2))

# 2) gotową funkcją (R liczy tau-b; bez remisów to samo co tau-a)
cor.test(godziny, punkty, method = "kendall")

# 3) remisy: dwie osoby mają po 6 punktów -> tau-b zamiast tau-a
cor(godziny, c(4, 2, 6, 6, 10), method = "kendall")

Wynik w konsoli R:

  C   D tau 
8.0 2.0 0.6 

	Kendall's rank correlation tau

data:  godziny and punkty
T = 8, p-value = 0.2333
alternative hypothesis: true tau is not equal to 0
sample estimates:
tau 
0.6 

[1] 0.7378648

Statystyka T = 8 w wydruku to liczba par zgodnych C. Funkcje cor() i cor.test() liczą \(\tau_b\), więc przy remisach dostajesz od razu właściwą wersję.

Tau Kendalla czy rho Spearmana?

Oba współczynniki opierają się na rangach i zwykle prowadzą do tego samego wniosku. Tau lepiej sprawdza się w małych próbach i przy wielu remisach, a jego wartość łatwo opisać słowami („przewaga par zgodnych”). Rho jest częściej spotykane w pracach i bliższe skali r Pearsona. Ważne, żeby nie porównywać tau z rho jak dwóch wyników: dla tych samych danych tau 0,60 i rho 0,80 opisują ten sam związek. Wybierz jedną miarę przed analizą i trzymaj się jej. Nie myl też tau ze współczynnikiem zgodności W Kendalla, który opisuje zgodność wielu pomiarów i towarzyszy testowi Friedmana.

Najczęstsze błędy

• Liczenie \(\tau_a\) przy remisach (np. odpowiedziach na skali 1–5) zamiast \(\tau_b\).
• Ocenianie siły tau progami Cohena dla r i pisanie „słaby związek” tylko dlatego, że tau jest niższe od rho.
• Pisanie o „silnym związku” bez testu istotności i bez komentarza o liczebności próby.
• Zaliczanie pary z remisem do zgodnych albo niezgodnych – remis nie trafia ani do C, ani do D.
• Wnioskowanie o przyczynie na podstawie samej korelacji.