Korelacja rang Spearmana – wzór i przykład

Współczynnik korelacji rang Spearmana (\(r_s\), często zapisywany jako ρ) mówi, na ile dwie zmienne układają się w ten sam porządek: czy osoby wysoko w jednym rankingu są też wysoko w drugim. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy studenci, którzy wyżej oceniają zajęcia (skala 1–5), mają też wyższe oceny z egzaminu?

Kiedy stosować korelację Spearmana?

• zmienne są porządkowe (oceny 1–5, miejsca w rankingu, pojedyncze pytania ankiety) albo ilościowe;
• spodziewasz się związku monotonicznego („im więcej jednego, tym więcej drugiego”), niekoniecznie liniowego;
• w danych są obserwacje odstające albo rozkłady są mocno skośne.

Gdy obie zmienne są ilościowe, związek jest liniowy i nie ma wartości odstających, wybierz korelację Pearsona. Przy bardzo małej próbie i wielu remisach dobrą alternatywą jest tau Kendalla. Więcej o metodach opartych na rangach przeczytasz w artykule o testach nieparametrycznych.

Wzór na współczynnik korelacji Spearmana

\(r_s\)

współczynnik korelacji rang Spearmana, od −1 do 1

\(d_i\)

różnica rang i-tej osoby: ranga w zmiennej x minus ranga w zmiennej y

\(n\)

liczba osób (par wyników)

remisy

równe wyniki dostają średnią rangę (np. dwa wyniki na miejscach 2 i 3 dostają po 2,5); wtedy wzór z \(d_i^2\) jest tylko przybliżeniem i liczysz r Pearsona na rangach

Przykład krok po kroku

Pięcioro studentów zapisało, ile godzin uczyło się do kolokwium i ile punktów zdobyło. Czworo uczyło się od 1 do 4 godzin, a jedna osoba – aż 10 godzin, i zdobyła 10 punktów.

1. Rangi. W każdej zmiennej osobno nadaj rangi od 1 (najmniej) do 5 (najwięcej). Remisów nie ma, więc wolno użyć krótkiego wzoru.
2. Różnice rang. d = ranga x − ranga y. Kontrola: różnice sumują się do zera.
3. Suma kwadratów różnic. Σd² = 4 + 1 + 1 + 4 + 0 = 10.
4. Współczynnik. \(r_s = 1 - 6 \cdot 10 / (5 \cdot 24) = 1 - 60/120 = 0{,}50\).
5. Istotność. Przy n = 5 dokładna wartość p wynosi 0,450 – wynik nieistotny.
6. Porównanie z Pearsonem. Na surowych wynikach r = 0,90 i p = 0,037. Różnicę robi osoba z 10 godzinami: bez niej oba współczynniki wynoszą dokładnie 0.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

\(r_s\) czytasz podobnie jak r: znak to kierunek, a wartość bez znaku to siła związku monotonicznego. Umownie stosuje się te same progi co dla r: 0,1 – związek słaby, 0,3 – umiarkowany, 0,5 – silny (Cohen, 1988). Wartość p mówi, jak często przy braku związku w populacji dostalibyśmy \(r_s\) co najmniej tak odległe od zera. Tu p = 0,450, więc brak podstaw do odrzucenia H0. Pięć osób to jednak za mało, żeby wykluczyć związek.

Jak policzyć korelację Spearmana w R?

godziny <- c(1, 2, 3, 4, 10)
punkty  <- c(3, 1, 4, 2, 10)

# 1) „ręcznie”: rangi, różnice rang i wzór (dane bez remisów)
d <- rank(godziny) - rank(punkty)
d
1 - 6 * sum(d^2) / (5 * (5^2 - 1))           # 0.5

# 2) definicja: korelacja Pearsona policzona na rangach (działa też przy remisach)
cor(rank(godziny), rank(punkty))

# 3) gotową funkcją (przy n < 10 i braku remisów R liczy dokładne p)
cor.test(godziny, punkty, method = "spearman")

# 4) dla porównania: Pearson na surowych wynikach
cor(godziny, punkty)

Wynik w konsoli R:

[1] -2  1 -1  2  0
[1] 0.5
[1] 0.5

	Spearman's rank correlation rho

data:  godziny and punkty
S = 10, p-value = 0.45
alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
sample estimates:
rho 
0.5 

[1] 0.9

Statystyka S = 10 w wydruku to właśnie Σd². Przy remisach R zgłosi, że nie może policzyć dokładnego p, i poda przybliżenie. Opis wyników na większej próbie znajdziesz we wpisie korelacja Spearmana – przykład.

Spearman czy Pearson – którą korelację wybrać?

Zacznij od wykresu rozrzutu. Jeśli punkty układają się wzdłuż prostej i nie ma wartości odstających, wybierz Pearsona – ma wtedy nieco większą moc. Jeśli zmienne są porządkowe, związek jest „rosnący, ale zakrzywiony” albo pojedyncze osoby mocno odstają, wybierz Spearmana. Gdy dane nie mają takich problemów, oba współczynniki są zbliżone: dla danych z hasła o korelacji Pearsona oba wynoszą 0,80. Decyzję podejmij przed liczeniem, a nie po porównaniu wartości p.

Najczęstsze błędy

• Używanie wzoru z Σd² przy remisach (typowych dla skal 1–5) zamiast korelacji Pearsona na rangach.
• Pisanie „brak związku”, gdy \(r_s\) ≈ 0. Poprawnie: brak związku monotonicznego – zależność w kształcie litery U może dać zero.
• Wybieranie Pearsona albo Spearmana po tym, który daje „lepsze” p.
• Wnioskowanie o przyczynie na podstawie samej korelacji.
• Traktowanie Spearmana jak testu bez założeń – nadal wymaga niezależnych obserwacji.