Kwartyle i rozstęp międzykwartylowy (IQR) – wzór i przykład

Kwartyle dzielą uporządkowane wyniki na cztery równe części: Q1 odcina najniższe 25% wyników, Q2 to mediana, a Q3 odcina najwyższe 25%. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: ile kubków kawy pije „środkowa połowa” studentów w sesji i czy ktoś wyraźnie odstaje od reszty?

Kiedy stosować kwartyle i IQR?

• opisujesz zmienną o rozkładzie skośnym albo z wartościami odstającymi – wtedy podajesz medianę i IQR zamiast średniej i SD;
• zmienna jest porządkowa, np. ocena zajęć 1–5;
• chcesz wykryć obserwacje odstające albo narysować wykres pudełkowy.

Drugi kwartyl to po prostu mediana. Gdy rozkład jest symetryczny, rozrzut zwykle opisuje się odchyleniem standardowym. Czy rozkład jest skośny, sprawdzisz w haśle o skośności.

Wzór na kwartyle i IQR

\(\text{poz}(Q_p)\)

numer miejsca kwartyla w uporządkowanej kolejce – to pozycja, a nie wartość

\(p\)

0,25 dla Q1, 0,5 dla Q2 (mediany), 0,75 dla Q3

\(n\)

liczba wyników

\(Q_1,\ Q_3\)

wyniki stojące na tych pozycjach; przy pozycji niecałkowitej (np. 1,5) bierzesz wartość pośrednią między sąsiednimi wynikami

\(IQR\)

rozstęp międzykwartylowy, czyli szerokość środkowej połowy wyników

\(1{,}5 \cdot IQR\)

odległość „płotów” od pudełka; wyniki poza płotami to obserwacje odstające według reguły Tukeya (1977)

Przykład krok po kroku

Siedmioro studentów zapisało, ile kubków kawy wypiło w tygodniu sesji: 1, 2, 2, 4, 6, 6, 21. To te same dane co w haśle o medianie.

1. Uporządkuj. Dane są już posortowane. n = 7, więc n + 1 = 8.
2. Pozycje. Q1: 8 · 0,25 = 2. Me: 8 · 0,5 = 4. Q3: 8 · 0,75 = 6.
3. Wartości. Na 2. miejscu stoi 2, na 4. – 4, na 6. – 6. Zatem Q1 = 2, Me = 4, Q3 = 6. Uwaga: tutaj pozycje i wartości przypadkiem się pokrywają. W innych danych tak nie będzie.
4. IQR. 6 − 2 = 4 kubki. Środkowa połowa studentów pije od 2 do 6 kubków.
5. Płoty Tukeya. Dolny: 2 − 1,5 · 4 = −4. Górny: 6 + 1,5 · 4 = 12. Wynik 21 jest powyżej 12, więc to obserwacja odstająca.

Programy liczą kwartyle różnymi metodami (Hyndman i Fan, 1996). Dla tych danych R, Excel i SPSS zgadzają się, ale nie zawsze tak jest.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Typowy student pije w sesji 4 kubki kawy tygodniowo, a połowa studentów mieści się między 2 a 6 kubkami. Osoba z 21 kubkami wyraźnie odstaje. Reguła Tukeya tylko wskazuje ją do sprawdzenia – nie każe jej usuwać. Zapis „Me (IQR)” to standard przy testach nieparametrycznych, np. teście U Manna-Whitneya.

Jak policzyć kwartyle w R?

kawa <- c(1, 2, 2, 4, 6, 6, 21)

# 1) „ręcznie”: pozycje (n + 1) · p w uporządkowanych danych
x <- sort(kawa); n <- length(x)
(n + 1) * c(0.25, 0.5, 0.75)                     # pozycje: 2 4 6
x[(n + 1) * c(0.25, 0.5, 0.75)]                  # Q1, Me, Q3: 2 4 6

# 2) gotowymi funkcjami: type = 7 to domyślna metoda R i Excela, type = 6 – SPSS
quantile(kawa, c(0.25, 0.5, 0.75), type = 7)
quantile(kawa, c(0.25, 0.5, 0.75), type = 6)
IQR(kawa)
boxplot.stats(kawa)$out                          # wyniki poza płotami Tukeya

# 3) sen z hasła o średniej: przy n = 5 metody dają różne kwartyle
sen <- c(6, 2, 7, 4, 6)
rbind(R_Excel = quantile(sen, c(0.25, 0.75), type = 7),
      SPSS    = quantile(sen, c(0.25, 0.75), type = 6))

Wynik w konsoli R:

[1] 2 4 6
[1] 2 4 6
25% 50% 75% 
  2   4   6 
25% 50% 75% 
  2   4   6 
[1] 4
[1] 21
        25% 75%
R_Excel   4 6.0
SPSS      3 6.5

Funkcja boxplot.stats() wypisuje wyniki leżące poza płotami Tukeya.

Dlaczego Excel, SPSS i R dają różne kwartyle?

Bo nie ma jednej definicji kwartyla. Hyndman i Fan (1996) opisali dziewięć metod, które inaczej traktują pozycje niecałkowite. R i funkcja QUARTILE.INC w Excelu domyślnie liczą metodą nr 7, a SPSS – metodą nr 6, czyli wzorem (n + 1) · p z tej strony. Dla wyników snu z hasła o średniej (2, 4, 6, 6, 7) R podaje Q1 = 4 i Q3 = 6, a SPSS Q1 = 3 i Q3 = 6,5. Przy dużych próbach różnice są zwykle niewielkie. W pracy napisz, w jakim programie liczyłeś kwartyle.

Najczęstsze błędy

• Mylenie pozycji z wartością. W danych o kawie oba przypadkiem wynoszą 2, 4 i 6, ale dla snu (2, 4, 6, 6, 7) pozycja Q1 to (5 + 1) · 0,25 = 1,5, a Q1 = 3, czyli połowa drogi między 2 a 4.
• Liczenie kwartyli z nieposortowanych danych.
• Mylenie IQR z odchyleniem ćwiartkowym, czyli połową IQR (tu 4 / 2 = 2) – napisz, którą miarę podajesz.
• Automatyczne usuwanie obserwacji spoza płotów bez sprawdzenia, skąd się wzięły.
• Porównywanie kwartyli z różnych programów przy małych próbach bez podania metody.