Odchylenie standardowe – wzór, przykład i interpretacja

Odchylenie standardowe (SD) mówi, jak bardzo wyniki rozrzucają się wokół średniej – o ile typowo różnią się od niej w jednostkach pomiaru. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy studenci śpią przed kolokwium podobnie długo, czy jedni prawie wcale, a inni normalnie?

Kiedy stosować odchylenie standardowe?

• zmienna jest ilościowa, a Ty podajesz jej średnią – SD to jej stały towarzysz;
• rozkład jest w miarę symetryczny; przy silnie skośnym lepiej opisać rozrzut rozstępem międzykwartylowym;
• potrzebujesz SD do dalszych obliczeń: błędu standardowego, standaryzacji albo d Cohena.

Na tej stronie liczymy SD z próby (dzielenie przez n − 1). Tej wersji używasz prawie zawsze w pracy dyplomowej, bo badasz część studentów, a wnioski chcesz odnieść do wszystkich.

Wzór na odchylenie standardowe

\(s\)

odchylenie standardowe z próby; w stylu APA oznaczasz je SD

\(s^2\)

wariancja, czyli SD do kwadratu; jest w jednostkach „do kwadratu” (godziny²), dlatego trudno ją interpretować

\(x_i\)

wynik i-tej osoby

\(\bar{x}\)

średnia arytmetyczna wszystkich wyników

\(x_i - \bar{x}\)

odchylenie wyniku od średniej

\(n - 1\)

liczba osób minus jeden (stopnie swobody, tzw. poprawka Bessela)

Przykład krok po kroku

Te same godziny snu przed kolokwium co w haśle o średniej: 6, 2, 7, 4, 6. Średnia wynosi 5 godzin.

1. Średnia. M = 25 / 5 = 5 godzin.
2. Odchylenia. Odejmij średnią od każdego wyniku: 1, −3, 2, −1, 1. Ich suma zawsze wynosi 0, więc samo uśrednienie odchyleń nic nie da.
3. Kwadraty. Podnieś odchylenia do kwadratu: 1, 9, 4, 1, 1. Suma kwadratów = 16.
4. Wariancja. s² = 16 / (5 − 1) = 4.
5. Odchylenie standardowe. s = √4 = 2 godziny.

Dlaczego dzielimy przez n − 1? Średnią policzyliśmy z tych samych pięciu wyników, więc leży ona możliwie najbliżej właśnie tych danych. Przez to odchylenia od niej są przeciętnie trochę mniejsze niż odchylenia od prawdziwej średniej wszystkich studentów. Dzielenie przez n − 1 wyrównuje to niedoszacowanie. Gdy dane obejmują całą populację, dzielisz przez N i dostajesz σ = 1,79 – zobacz hasło o odchyleniu standardowym populacji.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Sen studenta różni się od średniej typowo o około 2 godziny. Gdy rozkład jest zbliżony do normalnego, w przedziale M ± 1 SD mieści się około 68% wyników, a w przedziale M ± 2 SD – około 95%. Tutaj przedział od 3 do 7 godzin obejmuje cztery z pięciu osób. Przy tak małej próbie ta reguła działa tylko orientacyjnie.

Jak policzyć odchylenie standardowe w R?

sen <- c(6, 2, 7, 4, 6)

# 1) „ręcznie”, dokładnie według wzoru
odch <- sen - mean(sen)
odch                                       # 1 -3 2 -1 1
sum(odch^2)                                # suma kwadratów: 16
sqrt(sum(odch^2) / (length(sen) - 1))      # SD = 2

# 2) gotowymi funkcjami (R zawsze dzieli przez n - 1)
var(sen)                                   # wariancja: 4
sd(sen)                                    # odchylenie standardowe: 2
psych::describe(sen)[, c("n", "mean", "sd", "se")]

# 3) współczynnik zmienności: SD jako procent średniej
100 * sd(sen) / mean(sen)                  # 40%

Wynik w konsoli R:

[1]  1 -3  2 -1  1
[1] 16
[1] 2
[1] 4
[1] 2
   n mean sd   se
X1 5    5  2 0.89
[1] 40

Funkcje sd() i var() w R, podobnie jak SPSS i SZTOS, liczą wersję z próby, czyli dzielą przez n − 1.

Jakie odchylenie standardowe jest duże, a jakie małe?

Nie ma jednej granicy, bo SD zależy od jednostek. 2 godziny różnicy w śnie to dużo, a 2 punkty na teście 0–100 – mało. Porównuj SD ze skalą pomiaru i ze średnią. Pomaga współczynnik zmienności: SD podzielone przez średnią i pomnożone przez 100%. Tutaj wynosi 2 / 5 · 100% = 40%, czyli rozrzut to aż 40% średniej długości snu. Współczynnik ma sens tylko dla zmiennych z prawdziwym zerem, takich jak czas albo liczba kubków kawy. Najbardziej przydaje się przy porównaniu dwóch grup mierzonych tym samym narzędziem.

Najczęstsze błędy

• Mylenie SD z błędem standardowym. SD opisuje rozrzut wyników ludzi, a SE – precyzję średniej (Altman i Bland, 2005).
• Używanie wzoru dla populacji (dzielenie przez n, w Excelu funkcja STDEV.P) dla danych z próby.
• Podawanie wariancji zamiast SD, czyli zapomniany pierwiastek.
• Zapis M ± SD dla skośnych danych. Dla kubków kawy z hasła o medianie wychodzi 6 ± 6,90, co sugeruje ujemną liczbę kubków. Lepiej podać medianę i IQR.
• Liczenie SD dla zmiennej nominalnej zakodowanej liczbami, np. kierunku studiów.