Test Kruskala-Wallisa – wzór i przykład

Test Kruskala-Wallisa porównuje trzy lub więcej niezależnych grup, gdy nie chcesz zakładać rozkładu normalnego – na przykład przy ocenach na skali 1–5 albo w bardzo małych grupach. Zamiast średnich porównuje rangi. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy studenci z trzech grup ćwiczeniowych różnią się wynikami kolokwium?

Kiedy stosować test Kruskala-Wallisa?

• porównujesz trzy lub więcej grup różnych osób;
• zmienna jest co najmniej porządkowa;
• rozkłady są wyraźnie skośne, mają wartości odstające albo grupy są bardzo małe – wtedy test jest bezpieczniejszą alternatywą dla jednoczynnikowej ANOVA.

Przy dwóch grupach użyj testu U Manna-Whitneya. Gdy te same osoby badasz kilka razy – testu Friedmana.

Wzór na statystykę H

\(R_j\)

suma rang w grupie j (rangi nadajesz wszystkim osobom razem)

\(n_j\)

liczba osób w grupie j

\(N\)

liczba wszystkich osób

\(k\)

liczba grup

\(\eta^2_H\)

wielkość efektu: jaka część zmienności rang wiąże się z grupą

Gdy pojawiają się remisy, równe wyniki dostają średnią rangę, a H dzieli się przez \(1 - \sum (t^3 - t)/(N^3 - N)\), gdzie t to liczba osób z tym samym wynikiem (liczysz osobno dla każdego powtarzającego się wyniku). Programy robią to automatycznie.

Przykład krok po kroku

Te same dane co w haśle o ANOVA: punkty z kolokwium w trzech grupach ćwiczeniowych. Grupa A: 1, 3, 5. Grupa B: 2, 4, 6. Grupa C: 7, 8, 9. Wyniki to liczby od 1 do 9 bez powtórzeń, więc ich rangi są równe samym wynikom.

1. Rangi. Ustaw wszystkie 9 wyników od najmniejszego do największego i ponumeruj je od 1 do 9.
2. Sumy rang. A: 9, B: 12, C: 24. Kontrola: 9 + 12 + 24 = 45, czyli suma liczb od 1 do 9.
3. Statystyka H. \(H = \frac{12}{9 \cdot 10} \cdot 267 - 3 \cdot 10 = 35{,}6 - 30 = 5{,}60\); df = 2.
4. Wartość p z przybliżenia. Rozkład χ² z 2 stopniami swobody daje p = 0,061.
5. Wartość p dokładna. Rangi 1–9 można podzielić na trzy grupy po trzy na 1680 sposobów. H ≥ 5,60 daje 84 z nich, więc p = 84 / 1680 = 0,050.
6. Wielkość efektu. \(\eta^2_H = (5{,}6 - 3 + 1) / (9 - 3) = 0{,}60\).
7. Post hoc. Test Dunna z korektą Holma: A–C p = 0,076; B–C p = 0,147; A–B p = 0,655. Żadna para nie jest istotna.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Na tych samych danych ANOVA dała p = 0,027, a test Kruskala-Wallisa – p = 0,050 (dokładne) lub 0,061 (przybliżone). To lekcja o mocy. Test rangowy nie widzi, że wyniki grupy C są wyraźnie oddalone od reszty – dla niego 7 jest tylko „o jedno miejsce” wyżej niż 6. Przy tak małych grupach raportuj p dokładne i napisz to wprost. Tutaj wynik leży dokładnie na granicy α = 0,05, a żadna para w post hoc nie jest istotna. Opisz go więc ostrożnie: nie jest to ani mocny dowód różnicy, ani dowód jej braku.

Jak policzyć test Kruskala-Wallisa w R?

punkty <- c(1, 3, 5,  2, 4, 6,  7, 8, 9)
grupa  <- factor(rep(c("A", "B", "C"), each = 3))

# 1) „ręcznie”: rangi, sumy rang, H i wielkość efektu
R <- tapply(rank(punkty), grupa, sum)                 # 9, 12, 24
N <- 9; k <- 3
H <- 12 / (N * (N + 1)) * sum(R^2 / 3) - 3 * (N + 1)
c(H = H, eta2_H = (H - k + 1) / (N - k))              # 5.6 i 0.6

# 2) gotową funkcją (p z przybliżenia rozkładem chi-kwadrat)
kruskal.test(punkty ~ grupa)

# 3) p dokładne: wszystkie 1680 podziałów rang 1–9 na trzy grupy po 3
H_all <- c()
for (a in combn(9, 3, simplify = FALSE)) for (b in combn(setdiff(1:9, a), 3, simplify = FALSE)) {
  S <- c(sum(a), sum(b), 45 - sum(a) - sum(b)); H_all <- c(H_all, 12 / 90 * sum(S^2 / 3) - 30) }
mean(H_all >= H - 1e-9)                               # 84 / 1680 = 0.05

# 4) post hoc: test Dunna z korektą Holma
rstatix::dunn_test(data.frame(punkty, grupa), punkty ~ grupa, p.adjust.method = "holm")

Wynik w konsoli R:

     H eta2_H 
   5.6    0.6 

	Kruskal-Wallis rank sum test

data:  punkty by grupa
Kruskal-Wallis chi-squared = 5.6, df = 2, p-value = 0.06081

[1] 0.05
# A tibble: 3 × 9
  .y.    group1 group2    n1    n2 statistic      p  p.adj p.adj.signif
* <chr>  <chr>  <chr>  <int> <int>     <dbl>  <dbl>  <dbl> <chr>       
1 punkty A      B          3     3     0.447 0.655  0.655  ns          
2 punkty A      C          3     3     2.24  0.0253 0.0760 ns          
3 punkty B      C          3     3     1.79  0.0736 0.147  ns          

kruskal.test() podaje p z przybliżenia χ². Przy kilkunastu osobach w grupie obie wartości są już bardzo bliskie.

Czy test Kruskala-Wallisa porównuje mediany?

Nie wprost. Test sprawdza, czy wyniki w którejś grupie mają tendencję do bycia wyższymi niż w innych. O różnicy median możesz mówić tylko wtedy, gdy rozkłady we wszystkich grupach mają podobny kształt i rozrzut. Dlatego w opisie podawaj średnie rangi (albo mediany jako opis grup), H, df, p i wielkość efektu. Jeśli wynik jest istotny, sprawdź pary testem Dunna z korektą, np. Holma albo Bonferroniego.

Najczęstsze błędy

• Nazywanie testu „testem median” bez założenia o podobnym kształcie rozkładów.
• Podawanie średnich wyników zamiast średnich rang lub median.
• Seria testów U Manna-Whitneya bez korekty zamiast testu Dunna z korektą.
• Raportowanie p z przybliżenia χ² przy grupach liczących po kilka osób bez żadnej wzmianki.
• Użycie testu dla tych samych osób zbadanych kilka razy – tu potrzebny jest test Friedmana.