Błąd standardowy średniej (SE) – wzór, przykład i różnica z SD

Błąd standardowy średniej (SE) mówi, jak bardzo średnia z próby wahałaby się, gdybyś powtórzył badanie na innych osobach. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: na ile mogę ufać, że średnio 5 godzin snu w mojej próbie jest bliskie średniej wszystkich studentów?

Kiedy stosować błąd standardowy?

• chcesz ocenić precyzję średniej, a nie rozrzut wyników;
• budujesz przedział ufności dla średniej albo liczysz test t;
• rysujesz „wąsy” na wykresie średnich – wtedy w podpisie napisz, czy to SE, SD czy przedział ufności.

SE liczysz z odchylenia standardowego, a najczęściej przydaje się do przedziału ufności dla średniej i testu t dla jednej próby. Dlaczego średnie z wielu prób układają się w rozkład zbliżony do normalnego, wyjaśnia centralne twierdzenie graniczne.

Wzór na błąd standardowy średniej

\(SE\)

błąd standardowy średniej (w literaturze także SEM)

\(s\)

odchylenie standardowe z próby

\(n\)

liczba osób

\(\sqrt{n}\)

pierwiastek z liczby osób – dlatego cztery razy większa próba daje dwa razy mniejszy SE

\(\bar{x}\)

średnia z próby

\(t_{0{,}975;\ n-1}\)

wartość z rozkładu t dla n − 1 stopni swobody; dla n = 5 wynosi 2,776

Przykład krok po kroku

Te same godziny snu co w hasłach o średniej i odchyleniu standardowym: 6, 2, 7, 4, 6. Średnia wynosi 5 godzin.

1. Odchylenie standardowe. SD = √(16 / 4) = √4 = 2 godziny.
2. Pierwiastek z n. √5 = 2,236.
3. Błąd standardowy. SE = 2 / 2,236 = 0,894 godziny.
4. Wartość t. Dla 4 stopni swobody i 95% ufności t = 2,776 (tablice albo R).
5. Przedział ufności. 5 ± 2,776 · 0,894 = 5 ± 2,48, czyli od 2,52 do 7,48 godziny.
6. Większa próba. Przy 20 osobach i tym samym SD: SE = 2 / √20 = 0,447 – dwa razy mniej.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Średnia z próby (5 godzin) jest obarczona niepewnością rzędu 0,9 godziny. 95% przedział ufności od 2,52 do 7,48 godziny jest bardzo szeroki: dane pasują zarówno do 3, jak i do 7 godzin snu. Przy pięciu osobach to nic dziwnego. SE nie mówi natomiast nic o tym, czy próba jest reprezentatywna. Jeśli zbadasz tylko znajomych z akademika, nawet duża próba da precyzyjną, ale przesuniętą średnią.

Jak policzyć błąd standardowy w R?

sen <- c(6, 2, 7, 4, 6)
n <- length(sen)

# 1) „ręcznie”, dokładnie według wzoru
se <- sd(sen) / sqrt(n)
se                                              # 2 / √5 = 0.894
qt(0.975, df = n - 1)                           # wartość t dla 95% CI: 2.776
mean(sen) + c(-1, 1) * qt(0.975, n - 1) * se    # 95% CI: 2.52; 7.48

# 2) gotowymi funkcjami
t.test(sen)$conf.int
psych::describe(sen)$se

# 3) cztery razy więcej osób przy tym samym SD = 2 -> SE o połowę mniejszy
2 / sqrt(20)

Wynik w konsoli R:

[1] 0.8944272
[1] 2.776445
[1] 2.516672 7.483328
[1] 2.516672 7.483328
attr(,"conf.level")
[1] 0.95
[1] 0.8944272
[1] 0.4472136

W aplikacji SZTOS wąsy na wykresach porównań grup oznaczają średnią ± 2 SE. Przy dużych próbach to prawie 95% przedział ufności, ale przy pięciu osobach właściwy mnożnik to 2,776.

SD czy SE – co podać w pracy?

W tabeli opisującej próbę podaj SD, bo opisuje ono Twoich badanych. SE, a jeszcze lepiej przedział ufności, podaj wtedy, gdy mówisz o tym, jak dokładnie oszacowałeś średnią (Altman i Bland, 2005). SE jest zawsze mniejszy od SD, więc kusi, żeby go podać – wykres wygląda wtedy „czyściej”. To jednak ukrywa prawdziwy rozrzut wyników. Na wykresach zawsze podpisuj, co oznaczają wąsy (Cumming i in., 2007).

Najczęstsze błędy

• Podawanie SE zamiast SD w tabeli statystyk opisowych.
• Niepodpisane wąsy na wykresie średnich.
• Traktowanie M ± 2 SE jako 95% przedziału ufności w bardzo małej próbie – przy n = 5 mnożnik to 2,776.
• Mylenie precyzji z reprezentatywnością: mały SE nie naprawi źle dobranej próby.
• Mylenie SE średniej z innymi błędami standardowymi, np. SE współczynnika regresji.