Test t dla jednej próby – wzór i przykład

Test t dla jednej próby sprawdza, czy średnia w Twojej grupie różni się od z góry ustalonej wartości: normy, zalecenia albo środka skali. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy studenci przed kolokwium śpią średnio mniej niż zalecane 7 godzin?

Kiedy stosować test t dla jednej próby?

• masz jedną grupę i jedną zmienną ilościową (godziny, punkty, wynik skali);
• wartość odniesienia \(\mu_0\) ustalasz przed badaniem: norma testu, zalecenie (7 h snu), środek skali (3 na skali 1–5);
• wyniki są niezależne, a ich rozkład jest zbliżony do normalnego – przy małej próbie sprawdź to na wykresie lub testem Shapiro-Wilka.

Dwie grupy różnych osób porównasz testem t dla prób niezależnych, a dwa pomiary tych samych osób – testem t dla prób zależnych. Przy wyraźnie skośnych wynikach rozważ wersję testu Wilcoxona dla jednej próby.

Wzór na test t dla jednej próby

\(\bar{x}\)

średnia w próbie

\(\mu_0\)

wartość odniesienia z hipotezy zerowej (tu 7 h)

\(s\)

odchylenie standardowe w próbie

\(n\)

liczba osób

\(s / \sqrt{n}\)

błąd standardowy średniej (SE)

\(df\)

stopnie swobody – potrzebne, żeby odczytać wartość p

\(d\)

d Cohena: różnica wyrażona w odchyleniach standardowych

Przykład krok po kroku

Pięcioro studentów zapisało, ile godzin spało w noc przed kolokwium: 6, 2, 7, 4 i 6. Wartość odniesienia to zalecane 7 godzin.

1. Średnia. \(\bar{x} = 25 / 5 = 5\) h.
2. Odchylenie standardowe. \(s = \sqrt{16 / 4} = 2\) h.
3. Błąd standardowy. \(SE = 2 / \sqrt{5} \approx 0{,}894\).
4. Statystyka t. \(t = (5 - 7) / 0{,}894 \approx -2{,}24\); df = 5 − 1 = 4.
5. Wartość p. Program podaje p = 0,089 (test dwustronny). Wartość krytyczna dla df = 4 to ±2,776, a |−2,24| jest od niej mniejsze – wynik nie jest istotny statystycznie.
6. Przedział ufności. \(5 \pm 2{,}776 \cdot 0{,}894\), czyli od 2,52 do 7,48 h. Przedział obejmuje 7 h.
7. Wielkość efektu. d = (5 − 7) / 2 = −1,00.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Studenci spali średnio o 2 godziny krócej niż zalecane. Według konwencji Cohena (1988) |d| ≥ 0,8 to efekt duży, więc d = −1,00 opisuje dużą różnicę. Mimo to p = 0,089, czyli brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Nie dowodzi to, że studenci śpią „tyle, ile trzeba”. Przedział ufności od 2,5 do 7,5 h pasuje zarówno do poważnego niedoboru snu, jak i do braku różnicy. Pięć osób to po prostu za mało, żeby wykryć nawet duży efekt – o tym mówi moc testu.

Jak policzyć test t dla jednej próby w R?

sen <- c(6, 2, 7, 4, 6)    # godziny snu przed kolokwium
mu0 <- 7                   # zalecana liczba godzin

# 1) „ręcznie”, dokładnie według wzoru
se <- sd(sen) / sqrt(length(sen))           # 0.894
t <- (mean(sen) - mu0) / se
t                                           # -2.24
2 * pt(-abs(t), df = length(sen) - 1)       # p = 0.089

# 2) gotową funkcją (dodatkowo 95% przedział ufności)
t.test(sen, mu = mu0)

# 3) wielkość efektu d Cohena
effectsize::cohens_d(sen, mu = mu0)

Wynik w konsoli R:

[1] -2.236068
[1] 0.08900934

	One Sample t-test

data:  sen
t = -2.2361, df = 4, p-value = 0.08901
alternative hypothesis: true mean is not equal to 7
95 percent confidence interval:
 2.516672 7.483328
sample estimates:
mean of x 
        5 

Cohen's d |        95% CI
-------------------------
-1        | [-2.07, 0.14]

- Deviation from a difference of 7.

Argument mu to wartość odniesienia. Bez niego R porówna średnią z zerem, co rzadko ma sens.

Test jednostronny czy dwustronny?

Pytanie brzmiało „czy studenci śpią mniej niż 7 h?”, więc kusi test jednostronny. Dla naszych danych daje on p = 0,045, czyli wynik „istotny”. Taki test jest jednak uczciwy tylko wtedy, gdy kierunek hipotezy zapisałeś przed zebraniem danych i wynik w przeciwną stronę nie miałby dla Ciebie znaczenia. Zmiana testu na jednostronny dopiero wtedy, gdy dwustronny „nie wyszedł”, to błąd, który recenzenci szybko zauważają.

Najczęstsze błędy

• Wybór wartości odniesienia μ₀ po obejrzeniu danych.
• Przejście na test jednostronny tylko po to, żeby uzyskać p < 0,05.
• Pisanie „brak różnicy” albo „przyjęto H0”, gdy p > 0,05.
• Użycie testu dla jednej próby do porównania dwóch grup – to inny test.
• Podawanie samego p bez średniej, SD, przedziału ufności i d.