Przedział ufności dla średniej – wzór i przykład

Przedział ufności dla średniej to średnia z próby plus minus margines błędu. Pokazuje, jak dokładnie kilka zbadanych osób pozwala oszacować średnią w całej populacji. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: ile średnio śpią studenci przed kolokwium i jak pewne jest to oszacowanie?

Kiedy stosować przedział ufności dla średniej?

• chcesz podać średnią razem z jej niepewnością – standard APA zaleca podawanie przedziałów ufności przy wynikach;
• zmienna jest ilościowa (godziny, punkty, wynik skali), a obserwacje są niezależne;
• przy małej próbie wyniki nie są mocno skośne; przy kilkudziesięciu osobach pomaga centralne twierdzenie graniczne.

Szerokość przedziału zależy od błędu standardowego średniej. Przedział łączy się z testem t dla jednej próby: jeśli 95% przedział nie obejmuje sprawdzanej wartości, test daje p < 0,05. Dla mediany i innych statystyk bez prostego wzoru użyj bootstrapu.

Wzór na przedział ufności dla średniej

\(\bar{x}\)

średnia z próby

\(s\)

odchylenie standardowe policzone z próby

\(n\)

liczba osób w próbie

\(s/\sqrt{n}\)

błąd standardowy średniej (SE) – o ile średnia zmieniałaby się od próby do próby

\(t_{1-\alpha/2;\ n-1}\)

wartość krytyczna rozkładu t dla df = n − 1; dla 95% i n = 5 wynosi 2,776

\(z_{1-\alpha/2},\ \sigma\)

1,96 dla 95% – tylko wtedy, gdy odchylenie standardowe populacji σ znasz z góry (w pracach studenckich prawie nigdy)

Przykład krok po kroku

Pięcioro studentów zapisało, ile godzin spało przed kolokwium: 6, 2, 7, 4, 6. Policzmy 95% przedział ufności dla średniej.

1. Średnia. 25 / 5 = 5 godzin.
2. Odchylenie standardowe. s² = 16 / (5 − 1) = 4, więc s = 2.
3. Błąd standardowy. SE = 2 / √5 = 0,894.
4. Wartość krytyczna. Z tablic rozkładu t dla df = 4 i 95%: t = 2,776.
5. Margines błędu. 2,776 · 0,894 = 2,48.
6. Przedział. 5 − 2,48 = 2,52 oraz 5 + 2,48 = 7,48. Wynik: 95% CI [2,52; 7,48].

Dla porównania: gdyby σ = 2 było znane z góry, wzór z dałby 5 ± 1,96 · 0,894, czyli [3,25; 6,75]. Ten przedział jest węższy, bo nie uwzględnia niepewności, z jaką samo s oszacowaliśmy z pięciu osób.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Poprawnie: „gdybyśmy wiele razy losowali po pięciu studentów i za każdym razem liczyli taki przedział, około 95% przedziałów objęłoby prawdziwą średnią”. Niepoprawnie: „z prawdopodobieństwem 95% prawdziwa średnia leży między 2,52 a 7,48” – ten konkretny przedział albo ją obejmuje, albo nie (Hoekstra i in., 2014). W praktyce przedział od 2,5 do 7,5 godziny mówi, że pięć osób to za mało, by precyzyjnie oszacować średni sen. Zawsze podawaj poziom ufności i to, z jakiego wzoru korzystasz.

Jak policzyć przedział ufności w R?

sen <- c(6, 2, 7, 4, 6)

# 1) „ręcznie”, według wzoru z rozkładem t (sigma nieznane)
n    <- length(sen)
se   <- sd(sen) / sqrt(n)               # błąd standardowy średniej
t_kr <- qt(0.975, df = n - 1)           # wartość krytyczna t dla 95%
c(srednia = mean(sen), SE = se, t_kr = t_kr)
mean(sen) + c(-1, 1) * t_kr * se        # 95% przedział ufności

# 2) gotową funkcją
t.test(sen)$conf.int

# 3) wariant z – tylko gdy sigma populacji znasz z góry (tu: sigma = 2)
mean(sen) + c(-1, 1) * qnorm(0.975) * 2 / sqrt(n)

Wynik w konsoli R:

  srednia        SE      t_kr 
5.0000000 0.8944272 2.7764451 
[1] 2.516672 7.483328
[1] 2.516672 7.483328
attr(,"conf.level")
[1] 0.95
[1] 3.246955 6.753045

Przedział ufności czy odchylenie standardowe – co podać?

Najlepiej oba, bo odpowiadają na różne pytania. Odchylenie standardowe opisuje, jak bardzo różnią się od siebie osoby: jedni śpią 2 godziny, inni 7. Przedział ufności opisuje, jak dokładnie znamy średnią. Gdy zbadasz więcej osób, SD zostanie mniej więcej takie samo, a przedział ufności się zwęzi. Dlatego zapis „5 ± 2” bez wyjaśnienia jest niejasny – zawsze dopisz, czy to SD, SE czy 95% CI.

Najczęstsze błędy

• Interpretacja „na 95% prawdziwa średnia leży w tym przedziale” zamiast opisu własności metody.
• Używanie z = 1,96 przy małej próbie i nieznanym σ – przedział wychodzi za wąski.
• Mylenie odchylenia standardowego z błędem standardowym i przedziału ufności z zakresem wyników osób.
• Przekonanie, że przedział „naprawia” stronniczą próbę – zakłada on losowy dobór osób.
• Podawanie samego „±” bez informacji, czy to SD, SE czy przedział ufności.