Moda (dominanta) – wzór, przykład i zastosowanie

Moda, czyli dominanta, to wartość, która w danych występuje najczęściej. To jedyna miara tendencji centralnej, którą policzysz dla zmiennych nominalnych – na przykład gdy pytasz: jaki kierunek studiów reprezentuje najwięcej osób w mojej próbie?

Kiedy stosować modę?

• zmienna jest nominalna (kierunek studiów, płeć, miejsce zamieszkania) – wtedy moda jest jedyną sensowną miarą „typowej” wartości;
• zmienna jest porządkowa (ocena zajęć 1–5) – podaj modę obok mediany;
• dane są pogrupowane w przedziały (szereg rozdzielczy), a chcesz wskazać najczęstszą wartość wewnątrz przedziału.

Modę odczytasz wprost z tabeli częstości. Dla zmiennych ilościowych ważniejsze są zwykle średnia i mediana, a moda tylko je uzupełnia. Wszystkie trzy miary zestawiliśmy w haśle statystyka opisowa – wzory w pigułce.

Wzór na modę i dominantę

\(Mo\)

moda dla danych surowych: wartość \(x_k\), która ma największą liczebność

\(n_k\)

liczebność, czyli ile razy występuje dana wartość

\(D\)

dominanta dla danych pogrupowanych w przedziały (szereg rozdzielczy)

\(x_0\)

dolna granica przedziału z największą liczebnością (przedziału modalnego)

\(n_m\)

liczebność przedziału modalnego

\(n_{m-1},\ n_{m+1}\)

liczebności przedziału tuż przed nim i tuż po nim

\(h\)

szerokość przedziału; wszystkie przedziały muszą mieć tę samą szerokość

Przykład krok po kroku

Trzy krótkie przykłady: godziny snu z hasła o średniej (6, 2, 7, 4, 6), kierunek studiów dziesięciu osób oraz godziny snu jedenastu studentów z innej grupy, zapisane w przedziałach (Tabela 1).

1. Dane surowe. W wynikach 6, 2, 7, 4, 6 wartość 6 występuje dwa razy, a pozostałe po razie. Mo = 6 godzin.
2. Dane nominalne. Wśród 10 osób jest 4 studentów psychologii, 3 pedagogiki, 2 socjologii i 1 zarządzania. Mo = psychologia (4 osoby, 40%).
3. Przedział modalny. W Tabeli 1 najwięcej osób (5) spało od 4 do 6 godzin, więc x₀ = 4 i h = 2.
4. Różnice liczebności. Względem przedziału poprzedniego: 5 − 3 = 2. Względem następnego: 5 − 2 = 3.
5. Dominanta. D = 4 + 2 / (2 + 3) · 2 = 4 + 0,8 = 4,8 godziny. Wypada bliżej przedziału 2–4, bo jest on liczniejszy niż przedział 6–8.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Moda mówi, która odpowiedź była najczęstsza, ale nie mówi, jak bardzo dominowała. Dlatego zawsze podawaj jej liczebność i procent. „Najwięcej osób studiowało psychologię” brzmi mocno, a to tylko 4 z 10 osób – większość próby studiowała coś innego. Moda jest też niestabilna w małych próbach. Gdyby jeden student psychologii przeniósł się na pedagogikę, modą zostałaby pedagogika.

Jak policzyć modę w R?

sen <- c(6, 2, 7, 4, 6)
kierunek <- rep(c("psychologia", "pedagogika", "socjologia", "zarządzanie"), c(4, 3, 2, 1))

# 1) „ręcznie”: tabela liczebności i wartość o największej liczebności
tab <- table(sen)
tab
names(tab)[tab == max(tab)]             # wypisze wszystkie mody, jeśli jest ich kilka

# 2) gotową funkcją (atrybut freq to liczebność mody)
DescTools::Mode(sen)
DescTools::Mode(kierunek)

# 3) dominanta szeregu rozdzielczego (przedziały 0–2, 2–4, 4–6, 6–8 godzin)
n_i <- c(1, 3, 5, 2)                    # liczebności przedziałów
m <- which.max(n_i); x0 <- 4; h <- 2    # przedział modalny: 4–6
x0 + (n_i[m] - n_i[m - 1]) / ((n_i[m] - n_i[m - 1]) + (n_i[m] - n_i[m + 1])) * h

Wynik w konsoli R:

sen
2 4 6 7 
1 1 2 1 
[1] "6"
[1] 6
attr(,"freq")
[1] 2
[1] "psychologia"
attr(,"freq")
[1] 4
[1] 4.8

Uwaga na pułapkę: wbudowana funkcja mode() nie liczy mody, tylko zwraca typ obiektu (np. "numeric"). Dlatego używamy tabeli liczebności albo funkcji Mode() z pakietu DescTools.

Co zrobić, gdy są dwie mody albo nie ma żadnej?

Gdy dwie wartości występują najczęściej i tyle samo razy, rozkład jest dwumodalny – podaj obie mody. Dwa „szczyty” często znaczą, że w danych są dwie różne grupy, np. studenci dzienni i zaoczni. Warto wtedy opisać je osobno. Gdy każda wartość pojawia się tyle samo razy, moda nic nie wnosi. Tak bywa przy zmiennych ciągłych, np. czasie reakcji w milisekundach, gdzie prawie każdy wynik jest inny. Wtedy pogrupuj dane w przedziały i policz dominantę albo pokaż histogram.

Najczęstsze błędy

• Podawanie liczebności zamiast wartości: moda to „psychologia”, a nie „4”.
• Liczenie średniej z kodów zmiennej nominalnej zamiast podania mody.
• Używanie wzoru na dominantę, gdy przedziały mają różną szerokość.
• Szukanie mody w danych ciągłych bez grupowania ich w przedziały.
• Podawanie tylko jednej mody, gdy jest ich kilka – np. funkcja which.max() zwraca tylko pierwszą.