Statystyka opisowa – wzory w pigułce

Statystyka opisowa streszcza dane kilkoma liczbami: gdzie leży typowy wynik, jak bardzo wyniki się różnią i jaki kształt ma ich rozkład. Typowe zadanie w pracy dyplomowej: przygotować tabelę ze średnią, odchyleniem standardowym i medianą dla każdej zmiennej.

Kiedy które miary?

• zmienna ilościowa o rozkładzie zbliżonym do symetrycznego – średnia i odchylenie standardowe;
• rozkład skośny albo wyniki odstające – mediana i rozstęp międzykwartylowy;
• zmienna nominalna (np. kierunek studiów) – moda i procenty;
• precyzja średniej – błąd standardowy albo 95% przedział ufności.

Wzory na miary tendencji centralnej

\(\bar{x}\)

średnia arytmetyczna – suma wyników podzielona przez ich liczbę n

\(Me\)

mediana – środkowy wynik po uporządkowaniu; przy parzystym n to średnia dwóch środkowych

\(Mo\)

moda (dominanta) – wartość, która występuje najczęściej

Wzory na miary rozproszenia i precyzji

\(R\)

rozstęp – odległość między największym a najmniejszym wynikiem

\(s^2\)

wariancja – przeciętny kwadrat odległości od średniej; dzielimy przez n − 1, bo szacujemy wariancję populacji

\(s\)

odchylenie standardowe – typowa odległość wyniku od średniej, w jednostkach danych

\(SE\)

błąd standardowy średniej – mówi, jak dokładnie znamy średnią, a nie jak różnią się osoby

\(Q_1,\ Q_3\)

kwartyle – poniżej Q1 leży 25% wyników, poniżej Q3 – 75%; IQR obejmuje środkową połowę

\(t_{0{,}975;\,n-1}\)

wartość krytyczna rozkładu t do 95% przedziału ufności; przy małych próbach wyraźnie większa niż 1,96

Wzory na miary kształtu rozkładu

\(G_1\)

skośność – ujemna przy długim lewym ogonie, dodatnia przy długim prawym

\(G_2\)

kurtoza nadwyżkowa – 0 jak w rozkładzie normalnym, dodatnia przy ciężkich ogonach

Stosujemy wersje G1 i G2, czyli te same co SPSS, Excel i SZTOS. Inne programy mogą podawać inne odmiany wzoru, więc zawsze sprawdź, którą liczą.

Przykład: wszystkie miary dla jednego zbioru

Pięcioro studentów zapisało, ile godzin spało przed kolokwium: 6, 2, 7, 4 i 6. Po uporządkowaniu: 2, 4, 6, 6, 7.

Zwróć uwagę na dwie pułapki. Przedział ufności przy pięciu osobach liczysz z rozkładu t (2,776 dla 4 stopni swobody), a nie z wartością 1,96 – ta wystarcza dopiero przy dużych próbach. Z 1,96 przedział byłby za wąski: [3,25; 6,75]. Kwartyle i tercyle różne programy liczą różnymi metodami, więc zawsze podawaj, której użyłeś. Skośność i kurtozę przy pięciu wynikach traktuj jako ćwiczenie; krok po kroku liczymy je w hasłach szczegółowych.

Jak opisać statystyki opisowe w pracy?

W tabeli podawaj zwykle liczebność, średnią, odchylenie standardowe, medianę oraz minimum i maksimum. Błąd standardowy dodaj tylko wtedy, gdy mówisz o precyzji średniej. Wyniki zaokrąglaj do dwóch miejsc po przecinku i pamiętaj o jednostkach.

Jak policzyć wszystkie miary naraz w R?

sen <- c(6, 2, 7, 4, 6)
n <- length(sen)

# 1) „ręcznie”: miary według wzorów
round(c(M = mean(sen), Me = median(sen),
        Mo = as.numeric(names(which.max(table(sen)))),
        R = max(sen) - min(sen), s2 = var(sen), SD = sd(sen),
        SE = sd(sen) / sqrt(n)), 2)
quantile(sen, c(.25, .75))              # kwartyle (typ 7: R, Excel)
quantile(sen, c(.25, .75), type = 6)    # kwartyle jak w SPSS
round(quantile(sen, c(1/3, 2/3)), 2)    # tercyle (typ 7)
round(mean(sen) + c(-1, 1) * qt(.975, n - 1) * sd(sen) / sqrt(n), 2)  # 95% CI

# 2) wszystko naraz; type = 2: skośność G1 i kurtoza G2 jak w SPSS
psych::describe(sen, type = 2)

Wynik w konsoli R:

   M   Me   Mo    R   s2   SD   SE 
5.00 6.00 6.00 5.00 4.00 2.00 0.89 
25% 75% 
  4   6 
25% 75% 
3.0 6.5 
33.33333% 66.66667% 
     4.67      6.00 
[1] 2.52 7.48
   vars n mean sd median trimmed  mad min max range  skew kurtosis   se
X1    1 5    5  2      6       5 1.48   2   7     5 -0.94    -0.19 0.89

Uwaga: psych::describe() bez argumentu type = 2 liczy inną wersję skośności i kurtozy (tu −0,45 i −1,75).

Średnia czy mediana – co wybrać?

Gdy rozkład jest symetryczny, średnia i mediana są podobne i zwykle podaje się średnią z SD. Gdy rozkład jest skośny albo masz wyniki odstające, mediana lepiej opisuje typowy wynik. W naszym przykładzie jedna krótka noc obniża średnią do 5 h, choć trzy z pięciu osób spały co najmniej 6 h.

Najczęstsze błędy

• Przedział ufności z wartością 1,96 przy małej próbie – potrzebny jest rozkład t.
• Kwartyle i tercyle bez podania metody obliczeń.
• Błąd standardowy w tabeli zamiast odchylenia standardowego.
• Porównywanie skośności i kurtozy z różnych programów bez sprawdzenia wzoru.
• Średnia dla zmiennej nominalnej, np. „średni kierunek studiów” zakodowany cyframi 1–3.