d Cohena – wzór, interpretacja i przykład

d Cohena to miara wielkości efektu: mówi, o ile odchyleń standardowych różnią się dwie średnie. Typowe pytanie z pracy dyplomowej (często zadawane przez recenzenta): „różnica jest istotna, ale czy jest duża?” – i właśnie na to odpowiada d.

Kiedy stosować d Cohena?

• porównujesz dwie średnie: po teście t dla prób niezależnych, dla prób zależnych albo dla jednej próby;
• chcesz pokazać, jak duża jest różnica, a nie tylko, że jest istotna;
• planujesz liczebność próby – d jest punktem wyjścia analizy mocy.

Przy trzech i więcej grupach zwykle podaje się eta kwadrat, a w tabelach krzyżowych – współczynnik phi lub V Cramera.

Wzór na d Cohena

\(\bar{x}_1,\ \bar{x}_2\)

średnie w grupie 1 i w grupie 2

\(s_1^2,\ s_2^2\)

wariancje w grupach

\(s_p\)

połączone (zbiorcze) odchylenie standardowe obu grup – „linijka”, którą mierzysz różnicę

\(n_1,\ n_2\)

liczba osób w każdej grupie

\(g\)

g Hedgesa – d pomniejszone tak, żeby w małych próbach nie zawyżało efektu (Hedges, 1981)

Dla prób zależnych nie ma jednego „d”. Najczęściej spotkasz \(d_z = \bar{d} / s_d\) (średnia różnic podzielona przez SD różnic) oraz \(d_{av}\) – średnia różnic podzielona przez średnią z SD obu pomiarów (Lakens, 2013). Dają różne wartości, więc w pracy zawsze napisz, którą wersję podajesz.

Przykład krok po kroku

Bierzemy dane z hasła o teście t dla prób niezależnych: pięcioro studentów uczyło się z notatek (1, 2, 3, 4, 5 punktów), a pięcioro z quizów (4, 5, 6, 7, 8 punktów).

1. Różnica średnich. 6 − 3 = 3 punkty.
2. Połączone SD. \(s_p = \sqrt{(4 \cdot 2{,}5 + 4 \cdot 2{,}5) / 8} = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}58\).
3. d Cohena. d = 3 / 1,58 ≈ 1,90. Kontrola przez wynik testu t: \(d = t\sqrt{1/n_1 + 1/n_2} = 3 \cdot \sqrt{0{,}4} \approx 1{,}90\).
4. g Hedgesa. \(g = 1{,}897 \cdot (1 - 3/31) \approx 1{,}71\) (d bierzemy przed zaokrągleniem). Przy 10 osobach korekta zmniejsza efekt o mniej więcej 10%.
5. Próby zależne. W danych z hasła o teście t dla prób zależnych średnia zmiana wynosi 3, SD różnic \(\sqrt{5} \approx 2{,}24\), a SD pomiarów 1,58 i 2,74. Stąd \(d_z = 3/2{,}24 \approx 1{,}34\), ale \(d_{av} = 3/2{,}16 \approx 1{,}39\).

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Według konwencji Cohena (1988) d około 0,2 to efekt mały, 0,5 – średni, a 0,8 – duży. Sam Cohen proponował te progi tylko na wypadek, gdy brakuje lepszych odniesień z danej dziedziny. Nasze d = 1,90 jest więc efektem dużym, wyraźnie powyżej progu 0,8. Przy pięciu osobach w grupie 95% przedział ufności dla d jest jednak bardzo szeroki: od 0,32 do 3,40. Dane pasują zarówno do efektu małego, jak i ogromnego.

Jak policzyć d Cohena w R?

notatki <- c(1, 2, 3, 4, 5)
quizy   <- c(4, 5, 6, 7, 8)

# 1) „ręcznie”, dokładnie według wzoru
n1 <- length(quizy); n2 <- length(notatki)
s_p <- sqrt(((n1 - 1) * var(quizy) + (n2 - 1) * var(notatki)) / (n1 + n2 - 2))
d <- (mean(quizy) - mean(notatki)) / s_p
d                                        # 1.90
d * (1 - 3 / (4 * (n1 + n2) - 9))        # g Hedgesa: 1.71

# 2) pakiet effectsize: d i g z 95% przedziałem ufności
effectsize::cohens_d(quizy, notatki)
effectsize::hedges_g(quizy, notatki)

# 3) próby zależne: d_z (dane z hasła o teście t dla prób zależnych)
przed <- c(5, 3, 6, 4, 2); po <- c(7, 3, 9, 10, 6)
mean(po - przed) / sd(po - przed)        # d_z = 1.34

Wynik w konsoli R:

[1] 1.897367
[1] 1.71375
Cohen's d |       95% CI
------------------------
1.90      | [0.32, 3.40]

- Estimated using pooled SD.

Hedges' g |       95% CI
------------------------
1.71      | [0.29, 3.07]

- Estimated using pooled SD.

[1] 1.341641

Funkcje z pakietu effectsize od razu podają 95% przedział ufności. Dla prób zależnych pakiet ma funkcję repeated_measures_d() z kilkoma wersjami d – sprawdź w dokumentacji, którą liczy domyślnie.

Jaka wartość d Cohena jest „dobra”?

Nie ma jednej odpowiedzi. Progi 0,2, 0,5 i 0,8 to punkt wyjścia, a nie sztywna reguła. To samo d = 0,3 w jednej dziedzinie bywa sukcesem, a w innej – rozczarowaniem. Dlatego porównaj swój wynik z efektami z podobnych badań i podaj przedział ufności. Pamiętaj też, że małe d może mieć duże znaczenie praktyczne, jeśli dotyczy wielu osób albo taniej zmiany.

Najczęstsze błędy

• Mylenie d z istotnością: duże d nie gwarantuje p < 0,05 w małej próbie, a małe d bywa istotne w bardzo dużej.
• Traktowanie progów 0,2, 0,5 i 0,8 jak sztywnych granic.
• Liczenie d z SD tylko jednej grupy bez informacji o tym – to już inna miara (delta Glassa).
• Podawanie „d” dla prób zależnych bez wskazania wersji (d_z, d_av).
• Brak przedziału ufności dla d przy małej próbie.