Test Levene’a – wzór, przykład i interpretacja

Test Levene’a sprawdza, czy rozrzut wyników (wariancja) jest podobny w porównywanych grupach. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy przed porównaniem średnich mogę założyć równe wariancje, czy raczej powinienem użyć testu t Welcha?

Kiedy stosować test Levene’a?

• porównujesz dwie lub więcej grup różnych osób i chcesz opisać, czy wariancje są podobne;
• zmienna jest ilościowa (punkty, czas, wynik skali);
• przygotowujesz test t dla prób niezależnych albo jednoczynnikową ANOVA, które w wersji klasycznej zakładają równe wariancje.

Gdy wariancje się różnią, wybierz test t Welcha (lub ANOVA Welcha). Przy pomiarach powtarzanych tych samych osób zamiast równości wariancji sprawdza się sferyczność – zobacz ANOVA z powtarzanymi pomiarami.

Wzór na test Levene’a

\(x_{ij}\)

wynik j-tej osoby w grupie i

\(\bar{x}_i\)

średnia grupy i (w wariancie Browna-Forsythe’a – mediana grupy)

\(Z_{ij}\)

odległość wyniku od średniej jego grupy, bez znaku

\(\bar{Z}_i,\ \bar{Z}\)

średnia odległość w grupie i oraz średnia odległość we wszystkich grupach razem

\(n_i,\ N,\ k\)

liczba osób w grupie i, liczba wszystkich osób, liczba grup

\(W\)

statystyka testu; ma rozkład F o (k − 1, N − k) stopniach swobody

Przykład krok po kroku

Kolokwium napisało pięcioro studentów na sali i pięcioro online. Na sali wyniki są do siebie podobne, online – bardzo rozrzucone. Punkty (0–20) i odległości od średnich grup:

1. Średnie grup. Sala: 25 / 5 = 5. Online: 50 / 5 = 10.
2. Odległości Z. Średnio 4 / 5 = 0,8 punktu na sali i 18 / 5 = 3,6 punktu online. Średnia ogólna: 22 / 10 = 2,2.
3. Zmienność między grupami. 5 · (0,8 − 2,2)² + 5 · (3,6 − 2,2)² = 9,8 + 9,8 = 19,6.
4. Zmienność wewnątrz grup. 0,8 + 11,2 = 12.
5. Statystyka. W = (10 − 2) / (2 − 1) · 19,6 / 12 = 8 · 1,633 = 13,07; df = (1, 8). Program podaje p = 0,007.
6. Decyzja. p < 0,05, więc wariancje istotnie się różnią (s² = 1 na sali i 19 online). Średnie porównaj testem t Welcha. Wariant z medianą daje F(1, 8) = 5,63; p = 0,045.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Gdy p ≤ 0,05, piszesz, że wariancje w grupach istotnie się różnią, i raportujesz test Welcha. Gdy p > 0,05, piszesz: „brak podstaw do odrzucenia hipotezy o równości wariancji”, a nie „wariancje są równe”. Coraz więcej metodologów radzi, by test Welcha stosować domyślnie, a test Levene’a traktować jako opis danych, a nie „bramkę” decydującą o wyborze testu (Delacre i in., 2017). Zawsze podaj, którą wersję liczyłeś: ze średnią (SPSS, SZTOS) czy z medianą (domyślnie pakiet car w R).

Jak policzyć test Levene’a w R?

options(show.signif.stars = FALSE)
sala   <- c(4, 4, 5, 6, 6)
online <- c(5, 6, 11, 13, 15)
punkty <- c(sala, online)
grupa  <- factor(rep(c("Sala", "Online"), each = 5), levels = c("Sala", "Online"))

# 1) „ręcznie”: ANOVA na odchyleniach bezwzględnych od średnich grup
z <- abs(punkty - ave(punkty, grupa))     # Z = |x - średnia grupy|
tapply(z, grupa, mean)                    # 0.8 i 3.6
anova(lm(z ~ grupa))                      # F(1, 8) = 13.07

# 2) gotową funkcją: center = mean to wersja Levene'a (jak w SPSS i SZTOS)
car::leveneTest(punkty ~ grupa, center = mean)

# 3) wariant Browna-Forsythe'a (mediana) – domyślny w pakiecie car
car::leveneTest(punkty ~ grupa)

Wynik w konsoli R:

  Sala Online 
   0.8    3.6 
Analysis of Variance Table

Response: z
          Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)
grupa      1   19.6    19.6  13.067 0.006834
Residuals  8   12.0     1.5                 
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = mean)
      Df F value   Pr(>F)
group  1  13.067 0.006834
       8                 
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
      Df F value Pr(>F)
group  1  5.6333  0.045
       8               

Test Levene’a nieistotny – czy to znaczy, że wariancje są równe?

Nie. Nieistotny wynik oznacza tylko, że test nie znalazł dowodów na różnicę. Przy kilku osobach w grupie test ma tak małą moc, że przepuszcza nawet duże różnice rozrzutu (rysunek 3). Przy setkach osób odwrotnie – wykrywa różnice bez praktycznego znaczenia. Dlatego zestaw p z odchyleniami standardowymi grup, a w razie wątpliwości wybierz test Welcha, który działa dobrze w obu sytuacjach.

Najczęstsze błędy

• Pisanie „p > 0,05, więc wariancje są równe”. Poprawnie: „brak podstaw do odrzucenia hipotezy o równości wariancji”.
• Wybór między testem Studenta a Welcha wyłącznie na podstawie testu Levene’a przy bardzo małych grupach.
• Brak informacji, czy liczono wersję ze średnią, czy z medianą – wyniki mogą się wyraźnie różnić (tu 13,07 i 5,63).
• Mylenie testu Levene’a z testem różnicy średnich – Levene mówi o rozrzucie, nie o poziomie wyników.
• Liczenie testu Levene’a dla pomiarów powtarzanych tych samych osób.