Kurtoza – wzór, interpretacja i przykład

Kurtoza mówi, czy w rozkładzie często zdarzają się wyniki skrajne, czyli jak „ciężkie” są jego ogony w porównaniu z rozkładem normalnym. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy rozkład czasu snu przed kolokwium jest zbliżony do normalnego, czy psują go pojedyncze skrajne noce?

Kiedy liczyć kurtozę?

• opisujesz zmienną ilościową w tabeli statystyk opisowych (zwykle obok skośności);
• sprawdzasz, czy rozkład jest zbliżony do normalnego, zanim wybierzesz test parametryczny;
• szukasz sygnału, że w danych są wartości skrajne, które warto obejrzeć na wykresie pudełkowym.

Sama kurtoza nie wystarczy do oceny normalności – zestaw ją z histogramem, wykresem Q-Q i testem Shapiro-Wilka. Wszystkie miary opisowe w jednym miejscu znajdziesz w haśle statystyka opisowa – wzory.

Ciężkie ogony mają np. czasy reakcji z pojedynczymi bardzo długimi odpowiedziami albo liczba godzin nauki, gdy kilka osób uczy się kilka razy dłużej niż reszta grupy. Lekkie ogony mają zmienne, których wyniki rozkładają się mniej więcej równo w całym zakresie skali, bez wyraźnego skupienia przy średniej.

Wzór na kurtozę

\(x_i,\ \bar{x},\ s\)

wynik i-tej osoby, średnia i odchylenie standardowe z próby

\(\left(\frac{x_i - \bar{x}}{s}\right)^4\)

wynik z w czwartej potędze – zawsze dodatni i bardzo czuły na wyniki dalekie od średniej

pierwszy ułamek

poprawka na małą próbę

odejmowany ułamek

sprawia, że dla rozkładu normalnego wynik wynosi 0 (kurtoza „nadwyżkowa”)

\(SE_{G_2}\)

błąd standardowy kurtozy; \(SE_{G_1}\) to błąd standardowy skośności

To wersja G2 – liczą ją SPSS, Excel (funkcja KURTOZA) i aplikacja SZTOS. Wymaga co najmniej 4 obserwacji.

Przykład krok po kroku

Ci sami czworo studentów co w haśle o skośności: spali 2, 6, 6 i 6 godzin (M = 5 h, s = 2 h).

1. Wyniki z. (x − 5) / 2 daje −1,5 oraz trzy razy 0,5. Kontrola: suma z² = 3 = n − 1.
2. Czwarte potęgi. (−1,5)⁴ = 5,0625, a 0,5⁴ = 0,0625. Suma: 5,0625 + 3 · 0,0625 = 5,25. Osoba z 2 h daje aż 96% tej sumy.
3. Pierwszy ułamek. 4 · 5 / (3 · 2 · 1) = 3,333; 3,333 · 5,25 = 17,5.
4. Odejmowany ułamek. 3 · 3² / (2 · 1) = 13,5.
5. Kurtoza. G2 = 17,5 − 13,5 = 4,00.
6. Błąd standardowy. SE = √(4 · 15 · 1,029 / (1 · 9)) = 2,62, a z = 4,00 / 2,62 = 1,53.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Dodatnia kurtoza oznacza rozkład leptokurtyczny (ciężkie ogony), wartość bliska 0 – mezokurtyczny, a ujemna – platykurtyczny (lekkie ogony, np. gdy wyniki rozkładają się równo w całym zakresie). Jak ocenić wielkość? Kim (2013) proponuje: przy n < 50 porównaj z = G2 / SE z ±1,96, przy 50–300 osobach z ±3,29, a w dużych próbach patrz na histogram i samą kurtozę (wartości powyżej 7 to wyraźne odejście od normalności; West i in., 1995). U nas z = 1,53, a cztery obserwacje to i tak tylko ćwiczenie rachunkowe. Zauważ też, że kurtoza i skośność często idą w parze: jeden skrajny wynik daje jednocześnie silną skośność i dodatnią kurtozę – tak jak w naszym przykładzie.

Jak policzyć kurtozę w R?

sen <- c(2, 6, 6, 6)
n <- length(sen)

# 1) „ręcznie”, według wzoru G2 (kurtoza nadwyżkowa, jak w SPSS i Excelu)
z  <- (sen - mean(sen)) / sd(sen)
G2 <- n * (n + 1) / ((n - 1) * (n - 2) * (n - 3)) * sum(z^4) -
      3 * (n - 1)^2 / ((n - 2) * (n - 3))
SES <- sqrt(6 * n * (n - 1) / ((n - 2) * (n + 1) * (n + 3)))
SEK <- sqrt(4 * (n^2 - 1) * SES^2 / ((n - 3) * (n + 5)))
round(c(G2 = G2, SE = SEK, z = G2 / SEK), 2)

# 2) gotowymi funkcjami – zawsze sprawdź, który to wzór!
e1071::kurtosis(sen, type = 2)            # G2 (SPSS, Excel, SZTOS)
psych::describe(sen, type = 2)$kurtosis   # G2
psych::describe(sen)$kurtosis             # domyślny type = 3 – inny wzór
moments::kurtosis(sen) - 3                # bez poprawki – inny wzór

Wynik w konsoli R:

  G2   SE    z 
4.00 2.62 1.53 
[1] 4
[1] 4
[1] -1.6875
[1] -0.6666667

Przy czterech obserwacjach poprawka na małą próbę jest ogromna: wzory bez niej dają nawet wynik ujemny (−1,69 i −0,67). Dlatego zawsze podawaj, którą wersję liczysz (Joanes i Gill, 1998), a kurtozy z kilku obserwacji nie interpretuj.

Czy kurtoza to „spiczastość” rozkładu?

Nie, choć tak piszą starsze podręczniki. Rozkład może mieć płaski szczyt i jednocześnie ciężkie ogony – i wtedy jego kurtoza jest dodatnia. Kurtoza mierzy przede wszystkim to, jak często pojawiają się wyniki dalekie od średniej (DeCarlo, 1997). Westfall (2014) pokazał, że interpretacja „spiczastości” jest po prostu błędna. W pracy pisz więc o „ciężkich” lub „lekkich” ogonach.

Najczęstsze błędy

• Opisywanie kurtozy jako „spiczastości” zamiast ciężkości ogonów.
• Mylenie kurtozy nadwyżkowej (rozkład normalny = 0) ze zwykłą (rozkład normalny = 3).
• Porównywanie wyników z różnych programów bez sprawdzenia wzoru – psych::describe() domyślnie liczy inną wersję niż SPSS.
• Interpretowanie kurtozy przy kilku lub kilkunastu obserwacjach.