Test Shapiro-Wilka – wzór, interpretacja i przykład

Test Shapiro-Wilka sprawdza, czy wyniki mogą pochodzić z rozkładu normalnego. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy mogę użyć testu t albo ANOVA, czy rozkład punktów w grupach za bardzo odbiega od normalnego?

Kiedy stosować test Shapiro-Wilka?

• sprawdzasz założenie normalności przed testem t, ANOVA albo korelacją Pearsona;
• normalność oceniasz tam, gdzie wymaga jej metoda: osobno w każdej grupie albo na resztach modelu (ANOVA, regresja), a nie na wszystkich wynikach wrzuconych do jednego worka;
• masz od 3 do 5000 obserwacji (tyle obsługuje funkcja shapiro.test() w R);
• wynik testu zawsze zestawiasz z wykresem Q-Q i histogramem.

Jak wygląda wzorcowy kształt, przypomnisz sobie w haśle o rozkładzie normalnym. Odchylenia opiszesz liczbowo skośnością i kurtozą. Gdy rozkład wyraźnie nie jest normalny, a grupy są małe, sięgnij po testy nieparametryczne, np. test U Manna-Whitneya.

Wzór na statystykę W

\(x_{(i)}\)

i-ty wynik po ustawieniu wszystkich od najmniejszego do największego (to nie jest ranga, tylko sama wartość)

\(a_i\)

współczynniki z tablic Shapiro i Wilka (1965); zależą tylko od n, są symetryczne ze zmienionym znakiem (\(a_1 = -a_n\)), a ich kwadraty sumują się do 1

licznik

„ważona rozpiętość” wyników – taka, jakiej oczekujemy, gdy rozkład jest normalny

mianownik

suma kwadratów odchyleń od średniej

\(W\)

im bliżej 1, tym lepsza zgodność z rozkładem normalnym; hipoteza zerowa brzmi: dane pochodzą z rozkładu normalnego

Przykład krok po kroku

Pięcioro studentów zapisało, ile godzin spało przed kolokwium: 6, 2, 7, 4, 6. Średnia wynosi 5 godzin. Współczynniki \(a_i\) dla n = 5 odczytujemy z tablic.

1. Uporządkuj wyniki. 2, 4, 6, 6, 7; średnia = 25 / 5 = 5.
2. Mianownik. 9 + 1 + 1 + 1 + 4 = 16.
3. Licznik. Suma iloczynów \(a_i x_{(i)}\) wynosi 3,806. Szybciej: 0,6646 · (7 − 2) + 0,2413 · (6 − 4) = 3,323 + 0,483 = 3,806. Do kwadratu: 14,48.
4. Statystyka W. W = 14,48 / 16 = 0,905.
5. Wartość p. Program podaje p = 0,44. To więcej niż 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności.
6. Lekcja. Przy pięciu osobach test prawie niczego nie wykryje. Dla porównania liczba kubków kawy w tygodniu 1, 2, 2, 4, 6, 6, 21 daje W = 0,71 i p = 0,005 – jedna skrajna wartość wystarcza, żeby odrzucić normalność.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Gdy p > 0,05, piszesz: „brak podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności rozkładu”. Nie pisz „rozkład jest normalny” – test tylko nie znalazł dowodów przeciw. Gdy p ≤ 0,05, rozkład istotnie różni się od normalnego. Pamiętaj o dwóch pułapkach. Przy małych próbach test ma niską moc, więc przepuszcza nawet wyraźne odchylenia. Przy dużych próbach wyłapuje drobiazgi bez znaczenia, a test t i ANOVA przy kilkudziesięciu osobach w grupie i tak dobrze znoszą umiarkowaną skośność. Dlatego decyzję opieraj na teście, wykresie Q-Q i skośności łącznie (Ghasemi i Zahediasl, 2012).

Jak policzyć test Shapiro-Wilka w R?

sen <- c(6, 2, 7, 4, 6)

# 1) „ręcznie”: W ze współczynników a_i z tablic Shapiro i Wilka (n = 5)
a <- c(-0.6646, -0.2413, 0, 0.2413, 0.6646)
b <- sum(a * sort(sen))                    # licznik przed podniesieniem do kwadratu
W <- b^2 / sum((sen - mean(sen))^2)
W                                          # 0.905

# 2) gotową funkcją (algorytm Roystona)
shapiro.test(sen)

# 3) kontrprzykład: kubki kawy w tygodniu z jedną skrajną wartością
shapiro.test(c(1, 2, 2, 4, 6, 6, 21))$p.value

# 4) wykres Q-Q – oglądaj go zawsze razem z testem
qqnorm(sen); qqline(sen, col = "red")

# w ANOVA lub regresji testuj reszty modelu, np.:
# shapiro.test(residuals(lm(punkty ~ grupa, data = dane)))

Wynik w konsoli R:

[1] 0.905162

	Shapiro-Wilk normality test

data:  sen
W = 0.90531, p-value = 0.4399

[1] 0.004631144

Wynik „ręczny” (0,9052) minimalnie różni się od wyniku funkcji (0,9053), bo R liczy współczynniki \(a_i\) algorytmem Roystona (1995), a nie z czterocyfrowych tablic.

Shapiro-Wilk czy Kołmogorow-Smirnow?

Przy próbach typowych dla prac dyplomowych wybierz test Shapiro-Wilka. W porównaniach symulacyjnych wykrywa odchylenia od normalności częściej niż test Kołmogorowa-Smirnowa (Razali i Wah, 2011). Jeśli promotor lub program wymaga testu Kołmogorowa-Smirnowa, użyj wersji z poprawką Lillieforsa. Klasyczna wersja zakłada, że średnią i odchylenie standardowe populacji znasz z góry, a nie liczysz ich z próby.

Najczęstsze błędy

• Testowanie wszystkich wyników razem zamiast osobno w każdej grupie albo na resztach modelu.
• Pisanie „p > 0,05, więc rozkład jest normalny” – to tylko brak podstaw do odrzucenia normalności.
• Ślepe zaufanie testowi przy setkach obserwacji, gdy p < 0,05 wynika z drobnych, nieistotnych praktycznie odchyleń.
• Pomijanie wykresu Q-Q i histogramu.
• Mylenie \(x_{(i)}\) z rangą albo liczenie W z błędnymi współczynnikami – W nigdy nie przekracza 1.