Test Friedmana – przykład krok po kroku z interpretacją

Test Friedmana porównuje trzy lub więcej pomiarów u tych samych osób, gdy nie chcesz zakładać rozkładu normalnego. Pokazujemy cały przebieg: od rang w obrębie osoby, przez W Kendalla i porównania par, po akapit wyników i tabelę do pracy. Pytanie z pracy dyplomowej: czy samoocena wiedzy studentów zmienia się po warsztatach i czy wzrost utrzymuje się miesiąc później?

Krok 1. Pytanie badawcze i hipotezy

Ośmioro studentów oceniło swoją wiedzę ze statystyki w skali 1–10 trzy razy: przed warsztatami, zaraz po nich i miesiąc później. Te same osoby zmierzono trzykrotnie, więc pomiary są zależne.

• H0: rozkład samooceny jest w trzech pomiarach taki sam – u każdej osoby każda kolejność pomiarów jest równie prawdopodobna;
• H1: co najmniej jeden pomiar systematycznie wypada wyżej lub niżej od pozostałych; α = 0,05.

Krok 2. Dlaczego test Friedmana?

Samoocena z jednego pytania to zmienna porządkowa, a osiem osób to za mało, by sensownie ocenić rozkład różnic. Test Friedmana wymaga tylko, by osoby były od siebie niezależne, a zmienna – co najmniej porządkowa. Nie zakłada normalności ani sferyczności – w przeciwieństwie do ANOVA z powtarzanymi pomiarami. Przy dwóch pomiarach wybrałbyś test Wilcoxona, a przy różnych osobach w trzech grupach – test Kruskala-Wallisa. Pozostałe odpowiedniki testów parametrycznych zebraliśmy we wpisie o testach nieparametrycznych.

Krok 3. Dane, rangi i statystyki opisowe

Każda osoba porównywana jest tylko sama ze sobą: w jej wierszu najniższy wynik dostaje rangę 1, a najwyższy – 3 (rys. 1). Potem sumujesz rangi w kolumnach.

Krok 4. Test Friedmana i W Kendalla

1. Statystyka: χ²_F = 12 / (8 · 3 · 4) · (8² + 18² + 22²) − 3 · 8 · 4 = 0,125 · 872 − 96 = 13,00; df = 2; p = 0,002. Odrzucamy H0.
2. Wielkość efektu: W Kendalla = 13 / (8 · 2) = 0,81. To miara zgodności osób co do kolejności pomiarów, od 0 (brak zgodności) do 1 (wszyscy mają ten sam porządek). Nie jest to procent wyjaśnionej zmienności.
3. Co dalej: istotny test ogólny mówi tylko, że pomiary się różnią. Które – pokażą porównania par.

Krok 5. Post hoc: testy Wilcoxona z korektą Holma

Porównujemy każdą parę pomiarów testem Wilcoxona dla par. Trzy testy to trzy okazje do fałszywego alarmu, więc stosujemy korektę Holma (1979): najmniejsze p mnożymy przez 3, następne przez 2, a ostatnie przez 1, pilnując, by skorygowane p nie malało. Logikę takich poprawek opisuje hasło poprawka Bonferroniego. Wzrost samooceny zaraz po warsztatach (p = 0,041) i miesiąc później (p = 0,041) jest istotny. To zarazem najmniejsze p, jakie da się tu uzyskać, bo wzrost miało 8 z 8 osób. Przy siedmiu osobach nawet same wzrosty dałyby po korekcie p > 0,06 – w małej próbie porównania par mają niewielki zapas. Między pomiarem „po” i „miesiąc później” różnica nie jest istotna (p = 0,121): wzrosło 6 z 8 osób, ale przy tak małej próbie to za mało, by wykluczyć przypadek.

Krok 6. Jak opisać wynik w pracy?

W nocie podaj n = 8 i informację o porównaniach par (test Wilcoxona, korekta Holma). W tekście odwołaj się do wykresu jednym zdaniem.

Cała analiza w R

# Dane: samoocena wiedzy ze statystyki (1–10), 8 osób, trzy pomiary
dane <- data.frame(osoba = factor(rep(1:8, times = 3)),
                   pomiar = factor(rep(c("przed", "po", "miesiac"), each = 8),
                                   levels = c("przed", "po", "miesiac")),
                   wynik = c(1, 2, 3, 6, 3, 4, 2, 3,     # przed warsztatami
                             2, 3, 8, 7, 5, 8, 5, 6,     # zaraz po warsztatach
                             6, 7, 7, 8, 6, 6, 7, 9))    # miesiąc później

# 1) opis: mediany pomiarów i średnie rangi nadane w obrębie każdej osoby
tapply(dane$wynik, dane$pomiar, median)
rangi <- ave(dane$wynik, dane$osoba, FUN = rank)
tapply(rangi, dane$pomiar, mean)

# 2) test Friedmana i W Kendalla = chi2 / (n * (k - 1))
fr <- friedman.test(wynik ~ pomiar | osoba, data = dane)
fr
unname(fr$statistic / (8 * (3 - 1)))

# 3) post hoc: testy Wilcoxona dla par z korektą Holma
pairwise.wilcox.test(dane$wynik, dane$pomiar, paired = TRUE,
                     p.adjust.method = "holm", exact = FALSE)

Wynik w konsoli R:

  przed      po miesiac 
    3.0     5.5     7.0 
  przed      po miesiac 
   1.00    2.25    2.75 

	Friedman rank sum test

data:  wynik and pomiar and osoba
Friedman chi-squared = 13, df = 2, p-value = 0.001503

[1] 0.8125

	Pairwise comparisons using Wilcoxon signed rank test with continuity correction 

data:  dane$wynik and dane$pomiar 

        przed po   
po      0.041 -    
miesiac 0.041 0.121

P value adjustment method: holm 

Pytania promotora i recenzenta

Test Friedmana czy ANOVA z powtarzanymi pomiarami?

ANOVA wybierz, gdy zmienna jest ilościowa (np. wynik testu wiedzy z wielu zadań), a różnice między pomiarami mają rozkład zbliżony do normalnego. Na naszych danych daje ten sam wniosek: F(2, 14) = 20,79; p < 0,001. Friedman jest bezpieczniejszy przy jednym pytaniu i małej próbie.

Czy kolejność pomiarów nie zaburza wyniku?

Tu kolejność jest częścią pytania – badamy zmianę w czasie. Gdy jednak te same osoby oceniają trzy metody nauki, losuj kolejność metod, bo inaczej zmęczenie lub wprawa mieszają się z efektem metody.